2009-江西卷理-17 解-导数

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性，以及求解含有参数的分式不等式。核心考查学生的代数变形能力及对含参不等式分类讨论的严谨性。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(理)） 设函数 $f(x)=\frac{{\text{e}}^x}{x}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间;

(2) 若 $k>0$, 求不等式 $f^{\prime }(x)+k(1-x)f(x)>0$ 的解集.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：先确定函数定义域，对 $f(x)$ 求导得出 $f^{\prime }(x)$，令 $f^{\prime }(x)=0$ 求出驻点，依据导数符号划分单调区间。注意定义域的断点。
2. 第二问：将 $f(x)$ 与 $f^{\prime }(x)$ 的表达式代入不等式，提取公因式 ${\text{e}}^x$ 并化简。将分式不等式转化为含参的一元二次不等式 $(x-1)(kx-1)<0$，随后根据根 $1$ 与 $\frac{1}{k}$ 的大小关系进行分类讨论。

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当 $0<k<1$ 时，解集为 $\left(1,\frac{1}{k}\right)$；当 $k=1$ 时，解集为 $\varnothing$；当 $k>1$ 时，解集为 $\left(\frac{1}{k},1\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$。 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{{\text{e}}^x\cdot x-{\text{e}}^x\cdot 1}{x^2}=\frac{{\text{e}}^x(x-1)}{x^2}$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x=1$。 当 $x\in (-\infty ,0)$ 或 $x\in (0,1)$ 时，$x-1<0$，${\text{e}}^x>0$，$x^2>0$，此时 $f^{\prime }(x)<0$； 当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$x-1>0$，此时 $f^{\prime }(x)>0$。 故 $f(x)$ 的单调减区间为 $(-\infty ,0)$ 和 $(0,1)$；单调增区间为 $(1,+\infty )$。

(2) 由不等式 $f^{\prime }(x)+k(1-x)f(x)>0$ 得： $\frac{{\text{e}}^x(x-1)}{x^2}+k(1-x)\frac{{\text{e}}^x}{x}>0$。 因为 ${\text{e}}^x>0$，两边同除以 ${\text{e}}^x$，并提取公因式，得： $\frac{x-1}{x^2}-\frac{k(x-1)x}{x^2}>0$ $\frac{(x-1)(1-kx)}{x^2}>0$。 因为 $x\ne 0$，所以 $x^2>0$，上述不等式等价于： $(x-1)(1-kx)>0$ 且 $x\ne 0$， 即 $(x-1)(kx-1)<0$ 且 $x\ne 0$。 方程 $(x-1)(kx-1)=0$ 的两根为 $x_1=1,x_2=\frac{1}{k}$（$k>0$）。 ① 当 $\frac{1}{k}>1$，即 $0<k<1$ 时，不等式的解为 $1<x<\frac{1}{k}$； ② 当 $\frac{1}{k}=1$，即 $k=1$ 时，不等式化为 $(x-1{)}^2<0$，解集为 $\varnothing$； ③ 当 $\frac{1}{k}<1$，即 $k>1$ 时，不等式的解为 $\frac{1}{k}<x<1$（此时因 $k>1$，$\frac{1}{k}>0$，区间内不含 $0$，满足 $x\ne 0$）。 综上所述： 当 $0<k<1$ 时，解集为 $\left(1,\frac{1}{k}\right)$； 当 $k=1$ 时，解集为 $\varnothing$； 当 $k>1$ 时，解集为 $\left(\frac{1}{k},1\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数在单调性中的应用，含参分式不等式的求解。
2. 核心方法：提取公因式法，分类讨论法比较方程根的大小。
3. 避坑指南：

• 第(1)问中，单调减区间必须分开写成 $(-\infty ,0)$ 和 $(0,1)$，绝不能用“$\cup$”连接。
• 第(2)问化简时，分母上的 $x^2$ 虽然大于 $0$ 可直接去掉，但必须保留 $x\ne 0$ 这个隐含条件。讨论解集时需验证解集区间是否避开了原点 $x=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 典型的高考导数与不等式结合的基础题型，函数 $f(x)=\frac{{\text{e}}^x}{x}$ 及其变式是高频考查模型。
2. 结论推广: 对于含有指数函数 ${\text{e}}^x$ 的代数式，提取 ${\text{e}}^x$ 降维或化简是处理该类导数不等式问题的通用手段。处理含参二次不等式 $(x-x_1)(x-x_2)<0$ 时，必须讨论两根 $x_1,x_2$ 的大小。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-大纲卷理-22 解-导数不等式
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式