2009-浙江卷文-09 单-圆与三角形公共点

本题导读

考查圆与线的位置关系。三边与半径 $1$ 的圆公共点最多 $5$ 个（一边交两点、另两边各切一点），选 C。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(文)） 已知三角形的三边长分别为 $3$，$4$，$5$，则它的边与半径为 $1$ 的圆的公共点个数最多为 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心在内切圆心时恰 $3$ 个切点。
2. 圆稍作移动，可实现与一边交于 $2$ 点、另两边各切 $1$ 点，共 $4$ 个。
3. 半径 $1$ 与斜边上的高的关系限制了 $6$ 个交点情形（$6$ 个交点需圆足够”贴近”三边且都穿过），最多 $5$ 个。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$3$，$4$，$5$ 构成直角三角形，内切圆半径恰为 $\frac{3+4-5}{2}=1$。 当圆心位于内切圆心时，圆与三边各切于一点，公共点为 $3$ 个。 将圆稍作平移，可使圆与一条直角边相交于 $2$ 点，同时与另两条边相切，公共点达 $4$ 个；进一步调整位置，可使圆与斜边相交 $2$ 点、与另两边相切各 $1$ 点，公共点达 $5$ 个。 由于圆的半径 $1$ 与三角形内切圆半径相等，$6$ 个交点（与三条边都相交两点）无法实现。 故公共点个数最多为 $5$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的位置关系

核心方法：动态移动圆心枚举公共点组合

避坑指南：半径 $1$ 恰等于该直角三角形内切圆半径：内切时 $3$ 个切点，稍平移可”一交两切”达 $5$ 个；$6$ 个需与三边都相交，圆跨不过三条边。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆与多边形公共点个数是位置关系的动态变式。

结论推广：相切贡献 $1$ 个公共点，相交贡献 $2$ 个。

方法推广：最值问题先构造出候选值，再说明更大的值不可达。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2012-安徽卷文-09 单-直线与圆位置关系定参