2010-湖北卷文-09 单-直线与半圆相交

本题导读

考查直线与半圆。$y=3-\sqrt{4x-x^2}$ 是圆 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=4$ 的下半圆（$y⩽3$）。直线 $y=x+b$ 与其有公共点时 $b$ 的范围是 $[1-2\sqrt{2},3]$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 若直线 $y=x+b$ 与曲线 $y=3-\sqrt{4x-x^2}$ 有公共点，则 $b$ 的取值范围是()

A. $\left[1-2\sqrt{2},1+2\sqrt{2}\right]$　　B. $\left[1-\sqrt{2},3\right]$　　C. $\left[-1,1+2\sqrt{2}\right]$　　D. $\left[1-2\sqrt{2},3\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平方化：$(y-3{)}^2=4x-x^2$，即 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=4$，且 $y⩽3$，曲线是下半圆（含端点 $(0,3)$、$(4,3)$）。
2. 直线 $y=x+b$ 斜率为 1，$b$ 为纵截距。
3. 直线下移到与半圆相切于左下方时 $b$ 最小：圆心 $(2,3)$ 到直线 $x-y+b=0$ 的距离 $=\frac{|2-3+b|}{\sqrt{2}}=\frac{|b-1|}{\sqrt{2}}=2$（切下半圆时取 $b<1$），$b=1-2\sqrt{2}$。
4. 直线过点 $(0,3)$ 时 $b=3$，此时直线与半圆恰有公共点 $(0,3)$；$b>3$ 时直线在半圆上方无公共点。
5. 故 $b\in [1-2\sqrt{2},3]$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=3-\sqrt{4x-x^2}$，得 $(y-3{)}^2=4x-x^2$（$y⩽3$），即 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=4,$ 其表示以 $C(2,3)$ 为圆心、半径为 $2$ 的下半圆（含端点 $(0,3)$、$(4,3)$），定义域为 $0⩽x⩽4$. 直线 $y=x+b$ 的斜率为 $1$，$b$ 为纵截距，$b$ 越大直线越靠上. （1）直线与下半圆相切时，圆心到直线 $x-y+b=0$ 的距离等于半径： $\frac{|2-3+b|}{\sqrt{2}}=\frac{|b-1|}{\sqrt{2}}=2,$ 解得 $b=1+2\sqrt{2}$ 或 $b=1-2\sqrt{2}$. 其中切点在下半圆上的是 $b=1-2\sqrt{2}$（切点位于圆心左下方），$b=1+2\sqrt{2}$ 的切点在圆心右上方、属于上半圆，舍去. （2）直线过端点 $(0,3)$ 时，$3=0+b$，即 $b=3$；此时直线与半圆有公共点 $(0,3)$；$b>3$ 时直线在半圆上方，无公共点. 综合得 $b$ 的取值范围是 $[1-2\sqrt{2},3]$，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与半圆相交求参数范围

核心方法：圆心 $(2,3)$ 到直线 $y=x+b$ 的距离不超过半径，且交点在半圆 $y\le 3$ 上

避坑指南：$x^2+y^2-4x-6y+9=0$ 即 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=4$（$y\le 3$ 半圆）；$b$ 范围 $[1-2\sqrt{2},3]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆的位置关系看圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$。

结论推广：$d<r$ 相交、$d=r$ 相切、$d>r$ 相离；半圆问题还要限制交点纵坐标范围。

方法推广：把方程配方成标准式认圆心半径；半圆要额外检查交点是否在限定的半支上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-09 单-圆与三角形公共点
• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2012-安徽卷文-09 单-直线与圆位置关系定参
• 2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系