2009-浙江卷文-18 解-解三角形与向量

本题导读

考查正余弦定理与向量。$\cos A=\frac{3}{5}$，$bc=5$，面积 $2$；$c=1$ 时 $a=2\sqrt{5}$。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，且满足 $\cos \frac{A}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3$.

(1) 求 $△ABC$ 的面积；

(2) 若 $c=1$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. $\cos A=2{\cos }^2\frac{A}{2}-1=\frac{3}{5}$，$\sin A=\frac{4}{5}$。
2. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=bc\cos A=3\Rightarrow bc=5$。
3. $S=\frac{1}{2}bc\sin A=2$；$c=1$ 时 $b=5$，余弦定理求 $a$。

✅【答案】

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(1) $2$；(2) $a=2\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\cos \frac{A}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，得 $\cos A=2{\cos }^2\frac{A}{2}-1=2\times \frac{4}{5}-1=\frac{3}{5}$， 于是 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}$。 又 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=bc\cos A=3$，所以 $bc=5$。 因此 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times 5\times \frac{4}{5}=2$。 (2) 由 (1) 知 $bc=5$。又 $c=1$，所以 $b=5$。 由余弦定理，$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=25+1-2\times 5\times \frac{3}{5}=20$， 所以 $a=2\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形与向量数量积

核心方法：半角余弦升角 + $bc\cos A$ 转化

避坑指南：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=bc\cos A$ 是向量与解三角形桥接的关键式；已知 $\cos \frac{A}{2}$ 先用二倍角升角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正余弦定理与向量结合是解三角形常客。

结论推广：$\cos A=2{\cos }^2\frac{A}{2}-1$（升幂公式）。

方法推广：面积 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$；第二问用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-17 解-正余弦定理二倍角
• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形