2009-浙江卷理-02 单-不等式

本题导读

本题考查常用逻辑用语中的充分必要条件判断，重点测试实数乘积与和的符号所决定的实数正负性特征。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 已知 $a,b$ 是实数，则“$a>0$ 且 $b>0$”是“$a+b>0$ 且 $ab>0$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 从左向右推导：由 $a>0,b>0$ 判定 $a+b$ 与 $ab$ 的正负号。

2. 从右向左推导：由 $ab>0$ 得知 $a,b$ 同号，再结合 $a+b>0$ 判定 $a,b$ 具体符号。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

• 充分性：若 $a>0$ 且 $b>0$，则其和 $a+b>0$，其积 $ab>0$，充分性成立；

• 必要性：若 $a+b>0$ 且 $ab>0$。由 $ab>0$ 可知 $a$ 与 $b$ 同号（同正或同负）。又由 $a+b>0$ 可知它们不能同为负数，因此 $a$ 与 $b$ 必同为正数，即 $a>0$ 且 $b>0$，必要性成立。 综合可知，“$a>0$ 且 $b>0$”是“$a+b>0$ 且 $ab>0$”的充分必要条件。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充要条件的逻辑判定，实数运算的符号法则。

2. 核心方法：双向箭头推导法（$p⟹q$ 与 $q⟹p$）。

3. 避坑指南：必要性推导时，切忌只看到 $ab>0$ 就断定 $a>0,b>0$，必须深刻理解“同号”的两种可能，并用 $a+b>0$ 排除掉两负的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于一元二次方程根的分布中，韦达定理关于两正根的充要条件特征（$\Delta \ge 0$ 下的 $x_1+x_2>0$ 且 $x_1{x}_2>0$）。

2. 结论推广: 实数集内， $n$ 个数全部为正数的充要条件是它们的所有基本对称多项式均大于 0（Symmetric polynomials Property）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式