2009-浙江卷理-13 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划中目标函数最小值的求解，通过分析边界交点及斜率特征确定最值点。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 若实数 $x,y$ 满足不等式组 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 2\\ 2x-y\le 4\end{array}$，则 $2x+3y$ 的最小值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出二元一次不等式组对应的平面可行域，该区域是由两条边界射线围成的向上无限开放的区域。

2. 联立两条边界直线方程，求出可行域的顶点坐标。

3. 将目标函数变形为斜截式，分析其平移方向。因目标函数自变量系数均为正且区域向上无限平移，故最小值必在最底部的凸顶点处取得。

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4

✍【详细解析】

Abstract

联立两边界直线方程： $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x-y=4\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}$ 两直线相交于顶点 $A(2,0)$。 可行域是以 $A(2,0)$ 为顶点、开口朝向右上方的无边界限制区域。 令目标函数为 $z=2x+3y$，化为斜截式为 $y=-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$，其斜率 $k=-\frac{2}{3}$。 而两边界直线的斜率分别为 $k_1=-1$ 和 $k_2=2$。 因为 $-1<-\frac{2}{3}<2$，目标函数直线的斜率介于两边界斜率之间。 当目标函数直线往左下方平移时，截距 $\frac{z}{3}$ 逐渐减小，其经过可行域的最后边界点即为交点 $A(2,0)$。 把 $A(2,0)$ 代入目标函数中，可得 $z$ 的最小值为： $z_{min}=2\times 2+3\times 0=4$ 答案为：4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划中无界可行域的最值判定。

2. 核心方法：图解平移法。

3. 避坑指南：本题的可行域为开放无界区域，不要误认为无界区域就没有最值。由于目标函数的斜率方向与区域开口方向完全契合，因此其在底端顶点处的极值完全存在。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中二元一次不等式组与简单线性规划的拓展习题，考查数形结合的基本素养。

2. 结论推广: 关于可行域由 $y\ge k_1(x-x_0)+y_0$ 和 $y\ge k_2(x-x_0)+y_0$ ($k_1<k_2$) 组成的向上开放区域，若目标函数 $z=ax+by$ 满足 $b>0$ 且 $k_1<-\frac{a}{b}<k_2$，则 $z$ 的最小值必然在顶点 $(x_0,y_0)$ 处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立