2009-浙江卷理-20 解-面面垂直

本题导读

本题考查空间立体几何中线面平行与线面垂直的综合论证。解题核心在于利用面面垂直性质定理建立精准的空间直角坐标系，将空间几何位置的判定完全量化为向量的代数运算。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 如图，平面 $PAC\perp$ 平面 $ABC$，$△ABC$ 是以 $AC$ 为斜边的等腰直角三角形，$E,F,O$ 分别为 $PA,PB,AC$ 的中点，$AC=16,PA=PC=10$.

(1) 设 $G$ 是 $OC$ 的中点，证明：$FG\parallel$ 平面 $BOE$；

(2) 证明：在 $△ABO$ 内存在一点 $M$，使 $FM\perp$ 平面 $BOE$，并求点 $M$ 到 $OA,OB$ 的距离.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用 $△ABC$ 和 $△PAC$ 的中线特征，证出 $PO\perp AC$ 且 $OB\perp AC$，结合面面垂直性质建立空间直角坐标系 $O-xyz$。求出平面 $BOE$ 的法向量 $\vec{n}$，通过验证 $\overrightarrow{FG}\cdot \vec{n}=0$ 且点 $G$ 不在平面内来证明线面平行。

2. 第二问：由 $FM\perp$ 平面 $BOE$ 设出向量关系 $\overrightarrow{FM}=\lambda \vec{n}$，利用点 $M$ 落在底面 $xy$ 平面（即 $z=0$）的条件解出参数 $\lambda$ 与 $M$ 的坐标，通过边界不等式验证其在 $△ABO$ 内部后，直接读取其到坐标轴的距离。

✅【答案】

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因此𝑦−4 = 0，且𝑥3 = −34 ，得𝑀(−94, 4, 0)

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $△ABC$ 是以 $AC$ 为斜边的等腰直角三角形，$O$ 为 $AC$ 中点， 所以 $OB\perp AC$，且 $OB=OA=OC=\frac{1}{2}AC=8$. 因为 $PA=PC=10$， $O$ 为 $AC$ 中点， 所以 $PO\perp AC$，且 $PO=\sqrt{P{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$. 又平面 $PAC\perp$ 平面 $ABC$，平面 $PAC\cap$ 平面 $ABC=AC$， $PO\subset$ 平面 $PAC$， 所以 $PO\perp$ 平面 $ABC$. 以 $O$ 为原点，射线 $OC,OB,OP$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系 $O-xyz$. 则各点坐标为： $O(0,0,0)$， $A(-8,0,0)$， $C(8,0,0)$， $B(0,8,0)$， $P(0,0,6)$. 由于 $E,F,G$ 分别为 $PA,PB,OC$ 的中点，可得： $E(-4,0,3)$， $F(0,4,3)$， $G(4,0,0)$.

(1) 易得向量： $\overrightarrow{OB}=(0,8,0)$， $\overrightarrow{OE}=(-4,0,3)$， $\overrightarrow{FG}=(4,-4,-3)$. 设平面 $BOE$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{OB}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{OE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}8y=0\\ -4x+3z=0\end{array}$ 令 $x=3$，解得一个法向量为 $\vec{n}=(3,0,4)$. 因为 $\overrightarrow{FG}\cdot \vec{n}=4\times 3+(-4)\times 0+(-3)\times 4=12+0-12=0$， 且 $G(4,0,0)$ 的坐标不满足平面方程 $3x+4z=0$，即 $G$ 不在平面 $BOE$ 内， 所以 $FG\parallel$ 平面 $BOE$.

(2) 设在 $△ABO$ 内存在一点 $M(x_0,y_0,0)$ 满足要求。 因为 $FM\perp$ 平面 $BOE$，所以 $\overrightarrow{FM}\parallel \vec{n}$. 设 $\overrightarrow{FM}=\lambda \vec{n}=(3\lambda ,0,4\lambda )$，则： $M=F+\overrightarrow{FM}=(3\lambda ,4,3+4\lambda )$ 由于点 $M$ 位于 $xy$ 平面上，其 $z$ 轴坐标为 0， 所以 $3+4\lambda =0⟹\lambda =-\frac{3}{4}$. 代入可得 $M$ 点的坐标为 $\left(-\frac{9}{4},4,0\right)$. 在 $xy$ 平面上， $△ABO$ 的三个顶点分别为 $O(0,0)$， $A(-8,0)$， $B(0,8)$，其内部点满足约束条件： $x<0,y>0$ 且 $y-x<8$. 将 $M\left(-\frac{9}{4},4\right)$ 代入验证： $-\frac{9}{4}<0$， $4>0$，且 $4-\left(-\frac{9}{4}\right)=\frac{25}{4}=6.25<8$， 满足约束条件，故点 $M$ 确实存在于 $△ABO$ 内部. 此时，点 $M\left(-\frac{9}{4},4,0\right)$ 到 $OA$（即 $x$ 轴）的距离为 $|y_0|=4$； 点 $M\left(-\frac{9}{4},4,0\right)$ 到 $OB$（即 $y$ 轴）的距离为 $|x_0|=\frac{9}{4}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直的性质定理、线面平行的向量判别法、空间线面垂直交点坐标的逆推。

2. 核心方法：空间坐标法。通过建立标准直角坐标系，规避复杂的空间几何作图过程。

3. 避坑指南：第一问计算出内积为 0 后，必须判定点 $G$ 不在平面内，以确保线面平行而非线在面内；第二问中求出点 $M$ 坐标后，切勿直接作答，必须建立三角形边界方程显式证明该点落在 $△ABO$ “内部”，补充完整逻辑闭环。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于经典多面体中关于垂直交汇结构的定性定量考查，是新课标高考立体几何解答题利用向量法解决位置与距离问题的典型示范。

2. 结论推广: 若空间某平面的法向量形如 $\vec{n}=(A,0,C)$，则与该平面垂直的任意直线的方向向量必平行于 $xOz$ 平面，其在 $y$ 轴方向上的投影分量恒为常数，在截面上会形成一条平行的等高特征线。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

因此𝑦−4 = 0，且𝑥3 = −34 ，得𝑀(−94, 4, 0)

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-16 解-线面平行与面面垂直
• 2012-新课标卷文-19 解-面面垂直与截面体积
• 2012-江苏卷-16 解-面面垂直与线面平行