2009-湖北卷理-01 单-集合

本题导读

本题考查向量的坐标运算、集合的交集运算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 已知 $P=\{\mathbf{a}|\mathbf{a}=(1,0)+m(0,1),m\in \mathbf{R}\},Q=\{\mathbf{b}|\mathbf{b}=(1,1)+n(-1,1),n\in \mathbf{R}\}$ 是两个向量集合，则 $P\cap Q=$ ()

A. $\{(1,1)\}$　　　　B. $\{(-1,1)\}$　　　　C. $\{(1,0)\}$　　　　D. $\{(0,1)\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将向量集合化简为坐标形式，确定集合对应的几何图形（直线）。
2. 联立两集合中向量坐标的方程组，求解参数得到交集元素。

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A

✍【详细解析】

Abstract

由题意得： $P=\{(1,m)|m\in \mathbf{R}\}$，其表示直线 $x=1$； $Q=\{(1-n,1+n)|n\in \mathbf{R}\}$，其表示直线 $x+y=2$。 令两集合中的向量相等，得： $\{\begin{array}{l}1=1-n\\ m=1+n\end{array}$ 解得 $n=0,m=1$。 此时 $\mathbf{a}=\mathbf{b}=(1,1)$。 故 $P\cap Q=\{(1,1)\}$。 答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的数乘与加法坐标运算，集合交集的定义。
2. 核心方法：代数方程组法。
3. 避坑指南：注意集合的元素是向量（或点），写成集合形式时不能漏掉大括号；不要混淆两集合中不同的参数 $m$ 和 $n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中平面向量基本定理与坐标表示的基础习题，通过集合语言进行包装，本质是求两直线的交点。
2. 结论推广：若 $P=\{\mathbf{x}|\mathbf{x}={\mathbf{x}}_0+t{\mathbf{v}}_1\}$, $Q=\{\mathbf{x}|\mathbf{x}={\mathbf{y}}_0+s{\mathbf{v}}_2\}$，当向量 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ 不共线时，两直线必有唯一交点，对应集合交集为单元素集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积