2009-湖北卷理-04 单-三角函数

本题导读

本题考查函数图象的平移变换、三角函数的图象与性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 函数 $y=\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)-2$ 的图像 $F$ 按向量 $\mathbf{a}$ 平移到 $F^{\prime }$，$F^{\prime }$ 的解析式 $y=f(x)$，当 $y=f(x)$ 为奇函数时，向量 $\mathbf{a}$ 可以等于 ()

A. $\left(-\frac{\pi }{6},-2\right)$　　　B. $\left(-\frac{\pi }{6},2\right)$　　　C. $\left(\frac{\pi }{6},-2\right)$　　　D. $\left(\frac{\pi }{6},2\right)$

🔍【思路分析】

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1. 设平移向量 $\mathbf{a}=(h,k)$，写出平移后的函数 $y=f(x)$ 解析式。
2. 利用奇函数的定义，使常数项为 $0$，且相位满足正弦形式，代入选项验证。

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B

✍【详细解析】

Abstract

设向量 $\mathbf{a}=(h,k)$，则图像 $F$ 按向量 $\mathbf{a}$ 平移后的新解析式为： $y-k=\cos \left(2(x-h)+\frac{\pi }{6}\right)-2⟹y=\cos \left(2x-2h+\frac{\pi }{6}\right)-2+k$ 因为 $y=f(x)$ 为奇函数，其图象关于原点对称， 所以常数项必须为 $0$，即 $-2+k=0⟹k=2$。排除 A, C 选项。 将 $k=2$ 代入后，$f(x)=\cos \left(2x-2h+\frac{\pi }{6}\right)$。 验证 B 选项，当 $\mathbf{a}=\left(-\frac{\pi }{6},2\right)$ 时，$h=-\frac{\pi }{6}$： $f(x)=\cos \left(2x-2\left(-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin (2x)$ $-\sin (-2x)=\sin (2x)=-f(x)$，此时 $f(x)$ 为奇函数，符合题意。 验证 D 选项，当 $\mathbf{a}=\left(\frac{\pi }{6},2\right)$ 时，$h=\frac{\pi }{6}$： $f(x)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$，非奇非偶函数，不符。 答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量平移公式（“左加右减，上加下减”在坐标变换中的严格代入），三角函数奇偶性的充要条件。
2. 核心方法：公式变换法，选项排除法。
3. 避坑指南：注意对 $x$ 的平移是针对 $x$ 本身，即 $x\to x-h$，不要错写成 $2x\to 2x-h$；余弦型奇函数必满足整体相位为 $\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中“函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象变换”与向量平移的交汇，是高考常考的经典题型。
2. 结论推广：更一般地，函数 $y=\cos (\omega x+\phi )+C$ 按向量 $\mathbf{a}=(h,k)$ 平移后为奇函数，则 $k=-C$，且 $\omega h-\phi =\frac{\pi }{2}+z\pi (z\in \mathbf{Z})$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数