2009-湖北卷理-11 填-不等式

本题导读

本题考查分式不等式的解法、一元二次不等式与方程的关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 已知关于 $x$ 的不等式 $\frac{ax-1}{x+1}<0$ 的解集是 $(-\infty ,-1)\cup \left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将分式不等式转化为与之等价的一元二次不等式。
2. 根据解集的形式（两根之外），确定二次项系数的符号以及对应方程的根，进而求得 $a$ 的值。

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

不等式 $\frac{ax-1}{x+1}<0$ 等价于 $(ax-1)(x+1)<0$ 且 $x\ne -1$。 因为其解集为 $(-\infty ,-1)\cup \left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$，解集形式为两根之外， 所以对应二次不等式展开后的二次项系数必小于 $0$，即 $a<0$。 此时，对应方程 $(ax-1)(x+1)=0$ 的两个根分别为 $x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{a}$。 结合解集边界值可知，另一根必为 $-\frac{1}{2}$，即： $\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}$ 解得 $a=-2$。 经检验，当 $a=-2$ 时，不等式为 $\frac{-2x-1}{x+1}<0⟹\frac{2x+1}{x+1}>0$，解集确实为 $(-\infty ,-1)\cup \left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$。 答案：$-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式同解变形为二次不等式，二次不等式解集的边界即为对应方程的根。
2. 核心方法：等价转化法，根与系数（或边界值）对应法。
3. 避坑指南：容易忽略二次项系数 $a$ 的正负号对解集方向（大于零或小于零）的影响；转化时需注意分母不为 $0$ 的隐含条件，不过本题中 $-1$ 已在解集边界处扣除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高一数学中“一元二次不等式及其解法”的基础拔高题，通过参数逆向求解考查逆向思维。
2. 结论推广：形如 $\frac{ax+b}{cx+d}<0$ 的不等式，若其解集为两根之外，则必有 $ac<0$；若解集为两根之间，则必有 $ac>0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式