2009-湖北卷理-21 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查新定义运算、导数在极值中的应用。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 在 $\mathbf{R}$ 上定义运算 $\otimes$：$p\otimes q=-\frac{1}{3}(p-c)(q-b)+4bc$（$p,q$ 为实常数）.记 $f_1(x)=x^2-2c,f_2(x)=x-2b,x\in \mathbf{R}$.令 $f(x)=f_1(x)\otimes f_2(x)$.

(1) 如果函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处有极值 $-\frac{4}{3}$，试确定 $b,c$ 的值；

(2) 求曲线 $y=f(x)$ 上斜率为 $c$ 的切线与该曲线的公共点；

(3) 记 $g(x)=|f^{\prime }(x)|(-1\le x\le 1)$ 的最大值为 $M$.若 $M\ge k$ 对任意的 $b,c$ 恒成立，试求 $k$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：展开 $f(x)$ 表达式并求导，利用 $f^{\prime }(1)=0$ 和 $f(1)=-\frac{4}{3}$ 联立方程组求解，随后必须利用导数符号变化检验极值是否成立。
2. 第二问：由 $f^{\prime }(x)=c$ 确定切点横坐标，分情况写出切线方程，再与曲线方程联立，利用因式分解求解高次方程得到所有公共点。
3. 第三问：将目标转化为求 $g(x)=|-x^2+2bx+c|$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值。利用区间端点 $x=\pm 1$ 与中点 $x=0$ 的函数值建立线性组合，通过绝对值不等式放缩消去参数 $b,c$ 确定 $M$ 的下界。

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当 $b\ne 0$ 时，公共点为 $(0,bc),(3b,4bc),\left(2b,\frac{4}{3}{b}^3+3bc\right),\left(-b,\frac{4}{3}{b}^3\right)$；当 $b=0$ 时，上述点重合为 $(0,0)$

✍【详细解析】

Abstract

将 $p=x^2-2c,q=x-2b$ 代入新定义运算中展开： $f(x)=-\frac{1}{3}(x^2-3c)(x-3b)+4bc=-\frac{1}{3}{x}^3+b{x}^2+cx+bc$ 对其求导得：$f^{\prime }(x)=-x^2+2bx+c$。

(1) 解： 因 $f(x)$ 在 $x=1$ 处有极值，则 $f^{\prime }(1)=-1+2b+c=0⟹c=1-2b$。 又极值为 $-\frac{4}{3}$，则 $f(1)=-\frac{1}{3}+b+c+bc=-\frac{4}{3}⟹b+c+bc=-1$。 将 $c=1-2b$ 代入上式整理得： $b+(1-2b)+b(1-2b)=-1⟹2b^2=2⟹b=\pm 1$

• 当 $b=1$ 时，$c=-1$，此时 $f^{\prime }(x)=-x^2+2x-1=-(x-1{)}^2\le 0$。$f^{\prime }(x)$ 在 $x=1$ 两侧不改变符号，该点不是极值点，舍去。
• 当 $b=-1$ 时，$c=3$，此时 $f^{\prime }(x)=-x^2-2x+3=-(x+3)(x-1)$。当 $x$ 穿过 1 时 $f^{\prime }(x)$ 由正变负，该点为极大值点，符合题意。 综上所述，$b=-1,c=3$。

(2) 解： 令 $f^{\prime }(x)=c⟹-x^2+2bx+c=c⟹x(x-2b)=0$，解得切点横坐标为 $x=0$ 或 $x=2b$。

• 情况一：切点为 $x=0$ 时，切点坐标为 $(0,bc)$，切线方程为 $y-bc=cx⟹y=cx+bc$。 联立切线与曲线：$-\frac{1}{3}{x}^3+b{x}^2+cx+bc=cx+bc⟹x^2\left(-\frac{1}{3}x+b\right)=0$。 解得公共点坐标为 $(0,bc)$ 和 $(3b,4bc)$。
• 情况二：切点为 $x=2b$ 时，切点坐标为 $\left(2b,\frac{4}{3}{b}^3+3bc\right)$，切线方程为 $y-\left(\frac{4}{3}{b}^3+3bc\right)=c(x-2b)⟹y=cx+bc+\frac{4}{3}{b}^3$。 联立切线与曲线：$-\frac{1}{3}{x}^3+b{x}^2+cx+bc=cx+bc+\frac{4}{3}{b}^3⟹x^3-3b{x}^2+4b^3=0$。 因 $x=2b$ 为切点，原式必含因式 $(x-2b{)}^2$，分解得 $(x-2b{)}^2(x+b)=0$。 解得公共点坐标为 $\left(2b,\frac{4}{3}{b}^3+3bc\right)$ 和 $\left(-b,\frac{4}{3}{b}^3\right)$。 综上所述，当 $b\ne 0$ 时，公共点为 $(0,bc),(3b,4bc),\left(2b,\frac{4}{3}{b}^3+3bc\right),\left(-b,\frac{4}{3}{b}^3\right)$；当 $b=0$ 时，上述点重合为 $(0,0)$。

(3) 解： 由于 $g(x)=|-x^2+2bx+c|$，则 $M={\max }_{x\in [-1,1]}|-x^2+2bx+c|$。 根据定义，在区间内的任意点处均有 $g(x)\le M$，特别地： $g(-1)=|-1-2b+c|\le M$ $g(1)=|-1+2b+c|\le M$ $g(0)=|c|\le M$ 利用绝对值不等式进行代数重组，消去未知参数 $b,c$： $1=\left|c-\frac{(-1-2b+c)+(-1+2b+c)}{2}\right|\le |c|+\frac{1}{2}|-1-2b+c|+\frac{1}{2}|-1+2b+c|$ 将各点与 $M$ 的不等关系代入上式右侧放缩： $1\le M+\frac{1}{2}M+\frac{1}{2}M=2M⟹M\ge \frac{1}{2}$ 当 $b=0,c=\frac{1}{2}$ 时，$g(x)=|-x^2+\frac{1}{2}|$。当 $x\in [-1,1]$ 时，$-1/2\le -x^2+1/2\le 1/2$，此时 $M=\frac{1}{2}$ 恰好可以取到。 因为 $M\ge k$ 恒成立，所以 $k\le \frac{1}{2}$。 故 $k$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数确定三次函数的单调性与极值、切线交点高次方程求解、利用绝对值不等式求解极小化极大值（minimax）问题。
2. 核心方法：极值点导数为 0 的必要性检验，特定点线性组合放缩法。
3. 避坑指南：第(1)问中求出 $b=\pm 1$ 后必须回代检验导数符号是否发生改变，忽略检验会导致产生增根 $b=1$；第(3)问中如果直接对二次函数对称轴的位置分情况讨论极其繁琐，利用固定点（两端点与中点）的算术组合放缩是避开繁琐讨论的通用捷径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题第(3)问具有深刻的高等数学背景，本质上是关于最佳逼近论中的切比雪夫交错错点组定理。在闭区间 $[-1,1]$ 上用常数和一次项去逼近二次项 $x^2$ 时，最小偏离度的最大值恒为 $\frac{1}{2}$。
2. 结论推广：对于任意对称区间 $[-\delta ,\delta ]$ 上的二次函数 $f^{\prime }(x)=-x^2+2bx+c$，其绝对值最大值的最小值恒满足 $M_{\min }=\frac{{\delta }^2}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-大纲卷理-22 解-导数不等式
• 2011-辽宁卷文-11 单-导数构造解抽象不等式