2009-湖南卷文-11 填-二项式系数

本题导读

考查二项展开式。${\left(1+\sqrt{x}\right)}^4$ 中含 $x$ 的项为 ${\mathrm{C}}_4^2{\left(\sqrt{x}\right)}^2=6x$，系数 $6$。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 在 ${\left(1+\sqrt{x}\right)}^4$ 的展开式中，$x$ 的系数为　　　　.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 ${\mathrm{C}}_4^k{\left(\sqrt{x}\right)}^k$。
2. 含 $x$ 项需 ${\left(\sqrt{x}\right)}^k=x^{\frac{k}{2}}$，$k=2$。
3. ${\mathrm{C}}_4^2=6$。

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

由二项式定理，${\left(1+\sqrt{x}\right)}^4=1+4\sqrt{x}+6x+4x\sqrt{x}+x^2$， 其中含 $x$ 的项为 $6x$（由 ${\mathrm{C}}_4^2{\left(\sqrt{x}\right)}^2={\mathrm{C}}_4^{2}x$ 得到）， 所以 $x$ 的系数为 $6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的特定项系数

核心方法：展开 ${\left(1+\sqrt{x}\right)}^4$ 或用通项定 $k=2$

避坑指南：${\left(\sqrt{x}\right)}^k=x^{\frac{k}{2}}$，含 $x$ 项需 $k=2$，系数 ${\mathrm{C}}_4^2=6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：”$x$ 的系数”指 $x^1$，与”$\sqrt{x}$ 的系数”区分。

结论推广：幂次低时直接写五项展开更快，还便于核对。

方法推广：通项法验算：${\mathrm{C}}_4^2=6$，与展开法一致才收笔。

🔗【关联脉络】

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