2009-湖南卷文-19 解-导数对称极值

本题导读

考查导数综合。（1）$b=-6$；（2）$c=12t-3t^2$，$g(t)=-2t^3+6t^2$ 在 $(2,+\infty )$ 递减，值域 $(-\infty ,8)$。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+b{x}^2+cx$ 的导函数的图象关于直线 $x=2$ 对称.

(1)求 $b$ 的值；

(2)若 $f(x)$ 在 $x=t$ 处取得极小值，记此极小值为 $g(t)$，求 $g(t)$ 的定义域和值域.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）$f^{\prime }(x)=3x^2+2bx+c$，对称轴 $x=-\frac{2b}{2\times 3}=-\frac{b}{3}=2$，得 $b=-6$。 2.（2）$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+c=3(x-2{)}^2+c-12$。 3. $x=t$ 取极小值需 $t$ 为右侧零点：$t>2$ 且 $3(t-2{)}^2+c-12=0$，得 $c=12t-3t^2$。 4. $g(t)=f(t)=t^3-6t^2+(12t-3t^2)t=-2t^3+6t^2$，定义域 $(2,+\infty )$。 5. $g^{\prime }(t)=-6t^2+12t=-6t(t-2)<0$ 递减，${\lim }_{t\to 2^{+}}g(t)=8$，值域 $(-\infty ,8)$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $b=-6$；(2)定义域 $(2,+\infty )$，值域 $(-\infty ,8)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=3x^2+2bx+c$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称，其对称轴 $x=-\frac{2b}{2\times 3}=-\frac{b}{3}=2$，所以 $b=-6$。 （2）此时 $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+c=3(x-2{)}^2+c-12$。 若 $f(x)$ 在 $x=t$ 处取得极小值，则 $t$ 是导函数右侧的零点，因而 $t>2$， 并且由 $3(t-2{)}^2+c-12=0$ 得 $c=12t-3t^2$。 于是 $g(t)=f(t)=t^3-6t^2+ct=t^3-6t^2+(12t-3t^2)t=-2t^3+6t^2$。 故 $g(t)$ 的定义域为 $(2,+\infty )$。 对 $t>2$，$g^{\prime }(t)=-6t^2+12t=-6t(t-2)<0$，函数 $g(t)$ 在 $(2,+\infty )$ 上递减， 且 ${\lim }_{t\to 2^{+}}g(t)=-2\times 8+6\times 4=8$，${\lim }_{t\to +\infty }g(t)=-\infty$。 因此值域为 $(-\infty ,8)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的对称性与极值

核心方法：二次导函数对称轴定 $b$；以 $t$ 表 $c$，把 $g(t)$ 化成一元函数求值域

避坑指南：$b=-6$；$g(t)=-2t^3+6t^2$ 在 $(2,+\infty )$ 递减，$8$ 是上确界取不到，值域 $(-\infty ,8)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数极小值点在导函数右侧零点，$t>2$ 是定义域的来源。

结论推广：$g(t)$ 的表达式里 $c$ 要用 $t$ 替换掉，别留下两个变量。

方法推广：递减函数的值域上限是左端点的极限值，$t=2$ 取不到所以 $8$ 开口。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
• 2009-天津卷文-10 单-导数构造恒成立