2009-湖南卷理-03 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 将函数 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\phi (0\le \phi <2\pi )$ 个单位后，得到函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象，则 $\phi$ 等于 ()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{5\pi }{6}$　　　　　　　C. $\frac{7\pi }{6}$　　　　　　　D. $\frac{11\pi }{6}$

🔍【思路分析】

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1. 根据“左加右减”原则写出函数 $y=\sin x$ 向左平移 $\phi$ 后的新解析式。
2. 令新解析式与已知解析式重合，利用终边相同角的周期性求出 $\phi$ 的通项，并结合范围确定具体值。

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D

✍【详细解析】

Abstract

将函数 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\phi$ 个单位，解析式变为 $y=\sin (x+\phi )$。 由题意可知，该图象与 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象重合， 所以 $\sin (x+\phi )=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ 恒成立。 则 $\phi =-\frac{\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$。 因为 $0\le \phi <2\pi$，取 $k=1$： $\phi =-\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}$ 答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦曲线的平移变换表达式。
2. 核心方法：代数式对应与终边相同角筛选法。
3. 避坑指南：容易把向左平移误认为减去 $\phi$；要注意 $\phi$ 的取值范围限制在 $[0,2\pi )$ 内，计算时不要漏掉 $2\pi$ 周期。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中三角函数图象变换（$y=A\sin (\omega x+\phi )$）的标准基础习题。
2. 结论推广：函数 $y=\sin (\omega x+\alpha )$ 向左平移 $\phi$ 个单位后变为 $y=\sin [\omega (x+\phi )+\alpha ]=\sin (\omega x+\omega \phi +\alpha )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数