2009-湖南卷理-10 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理、通项公式法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 在 $(1+x{)}^3+(1+\sqrt{x}{)}^3+(1+\sqrt[3]{x}{)}^3$ 的展开式中，$x$ 的系数为$\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将整式拆开，分别研究三个二项式展开式中含 $x$（即 $x^1$）的项。
2. 写出各部分的通项公式，通过令 $x$ 的指数等于 1 求出对应的组合数项。
3. 将三部分的系数相加即得最终结果。

点击查看答案

7

✍【详细解析】

Abstract

可以将原式分为三部分独立求解：

• 第一部分 $(1+x{)}^3$：其展开式的通项为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_3^r{x}^r$。令 $r=1$，得到含 $x$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_3^1=3$。
• 第二部分 $(1+\sqrt{x}{)}^3$：其展开式的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_3^k(\sqrt{x}{)}^k={\mathrm{C}}_3^k{x}^{\frac{k}{2}}$。令 $\frac{k}{2}=1⟹k=2$，得到含 $x$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_3^2=3$。
• 第三部分 $(1+\sqrt[3]{x}{)}^3$：其展开式的通项为 $T_{m+1}={\mathrm{C}}_3^m(\sqrt[3]{x}{)}^m={\mathrm{C}}_3^m{x}^{\frac{m}{3}}$。令 $\frac{m}{3}=1⟹m=3$，得到含 $x$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_3^3=1$。

综上所述，展开式中 $x$ 的总系数为： $3+3+1=7$ 答案：7

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 核心方法：多项式展开系数的分项求和法。
3. 避坑指南：在写根式项（如 $\sqrt{x},\sqrt[3]{x}$）的通项时，务必先把根式转化为分数指数幂形式（即 $x^{\frac{1}{2}},x^{\frac{1}{3}}$），再准确对应未知数指数方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由教材中单一二项式特定项系数问题通过加法组合转化而来的多项式复合题。
2. 结论推广：对于多项式 ${\sum }_{i=1}^m(1+x^{\frac{1}{i}}{)}^n$，其展开式中 $x$ 的系数等于所有满足 $i\le n$ 的 ${\mathrm{C}}_n^i$ 的加和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理