2009-湖南卷理-11 填-均值不等式

本题导读

本题考查三角函数的诱导公式、基本不等式（均值不等式），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 若 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，则 $2\tan x+\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用三角函数诱导公式，将 $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ 转化为 $\cot x$，进而化为 $\frac{1}{\tan x}$。
2. 由 $x$ 的取值范围判断 $\tan x$ 的正负性。
3. 满足“一正、二定、三相等”的条件，直接套用基本不等式求出最小值。

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

根据三角函数诱导公式可知： $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cot x=\frac{1}{\tan x}$ 由于 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\tan x>0$。 原代数式可变形为： $2\tan x+\frac{1}{\tan x}$ 由基本不等式（均值不等式）得： $2\tan x+\frac{1}{\tan x}\ge 2\sqrt{2\tan x\cdot \frac{1}{\tan x}}=2\sqrt{2}$ 当且仅当 $2\tan x=\frac{1}{\tan x}⟹{\tan }^{2}x=\frac{1}{2}⟹\tan x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时等号成立。 因为 $\frac{\sqrt{2}}{2}>0$，所以此等号在区间 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内可以取到。 故该式的最小值为 $2\sqrt{2}$。 答案：$2\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角诱导公式（奇变偶不变，符号看象限），利用基本不等式求积定和最小。
2. 核心方法：同名转化与均值放缩法。
3. 避坑指南：使用基本不等式前必须严密校验“一正（各项为正）”和“三相等（等号能否取到）”的条件，本题中取到等号的自变量满足 $x=\arctan \frac{\sqrt{2}}{2}$，处于已知区间内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中“基本不等式”章节的经典三角函数代换例题。
2. 结论推广：若 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，则 $A\tan x+B\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ ($A,B>0$) 的最小值为 $2\sqrt{AB}$，等号成立条件为 $\tan x=\sqrt{\frac{B}{A}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数