2009-湖南卷理-12 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质、离心率的求解，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 已知双曲线 $C$ 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为 $60^{\circ }$，则双曲线 $C$ 的离心率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，明确两个焦点 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ 与虚轴端点 $B_1(0,-b),B_2(0,b)$ 构成的四边形是一个对角线互相垂直平分的菱形。
2. 分析 $60^{\circ }$ 内角可能出现的位置。由于双曲线中 $c>b$ 恒成立，结合几何大长边对大角的原理，判定 $60^{\circ }$ 只能位于焦点顶点处。
3. 在特征直角三角形 $△O{B}_2{F}_2$ 中建立边角关联，计算 $\frac{b}{c}$ 或 $\frac{a}{c}$ 的比值，从而推导离心率 $e=\frac{c}{a}$。

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$\frac{\sqrt{6}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$。 两个焦点为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$，虚轴的两个端点为 $B_1(0,-b),B_2(0,b)$。 由对称性可知，四边形 $F_1{B}_1{F}_2{B}_2$ 是一条对角线在 $x$ 轴（长为 $2c$），另一条在 $y$ 轴（长为 $2b$）的菱形。 根据双曲线的几何性质，焦距半长 $c$ 与虚轴半长 $b$ 满足 $c=\sqrt{a^2+b^2}>b$。

在菱形中，较长的对角线所对的内角较小。因为 $2c>2b$，所以焦点 $F_1,F_2$ 处的内角小于虚轴端点 $B_1,B_2$ 处的内角。 因此，该四边形中大小为 $60^{\circ }$ 的内角只能分布在焦点处，即 $\angle B_1{F}_2{B}_2=60^{\circ }$。 根据坐标轴的对称平分性质，在 $\text{Rt}△O{B}_2{F}_2$ 中： $\angle O{F}_2{B}_2=\frac{1}{2}\angle B_1{F}_2{B}_2=30^{\circ }$ 根据直角三角形的三角函数关系： $\tan 30^{\circ }=\frac{O{B}_2}{O{F}_2}=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹c=\sqrt{3}b$ 两边平方得 $c^2=3b^2$。 由于双曲线中 $b^2=c^2-a^2$，代入上式消去 $b$： $c^2=3(c^2-a^2)⟹c^2=3c^2-3a^2⟹2c^2=3a^2⟹\frac{c^2}{a^2}=\frac{3}{2}$ 由于离心率 $e=\frac{c}{a}>1$，开方得： $e=\frac{\sqrt{6}}{2}$ （注：若假设 $60^{\circ }$ 角在虚轴端点处，则 $\angle O{B}_2{F}_2=30^{\circ }⟹\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹b=\sqrt{3}c$，与 $c>b$ 矛盾，故此种情况不存在）。 答案：$\frac{\sqrt{6}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的特征结构参数（$a,b,c$）及其几何位置关联，离心率的定义式。
2. 核心方法：数形结合法，通过几何基本量的范围约束限制进行多情况排查。
3. 避坑指南：本题最易在 $60^{\circ }$ 角的位置上产生多解偏误。必须牢记在双曲线中 $c>b$ 恒成立，以此在直角三角形中利用大边对大角直接否定 $\frac{c}{b}=\tan 30^{\circ }$ 的可能。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中对椭圆/双曲线的焦点与顶点构成特殊四边形（如正方形、正三角形等边界条件）的课后拓展思考题。
2. 结论推广：若双曲线的焦点与虚轴端点构成的四边形存在一内角为 $2\theta$，当 $\theta <45^{\circ }$ 时，对应的离心率公式为 $e=\frac{1}{\sqrt{1-{\tan }^2\theta }}$。本题代入 $\theta =30^{\circ }$ 即得 $e=\frac{1}{\sqrt{1-1/3}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-03 填-双曲线
• 2011-上海卷理-23 解-双曲线
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线