2009-湖南卷理-17 解-二项分布

本题导读

本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{6}$. 现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设.

(1) 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

(2) 记 $\xi$ 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求 $\xi$ 的分布列及数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：每位工人选择三类项目的概率分别为 $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{6}$。3人选择的项目类别互不相同，相当于对这三类项目进行全排列。
2. 第二问：单人选择基础设施工程或产业建设工程的概率为 $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$。由于3人选择相互独立，可将 $\xi$ 视作服从二项分布 $\xi \sim B\left(3,\frac{2}{3}\right)$，进而求出分布列和期望。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：由题意可知，每位工人选择基础设施工程、民生工程、产业建设工程的概率分别为 $P_1=\frac{1}{2}$，$P_2=\frac{1}{3}$，$P_3=\frac{1}{6}$。

(1) 设“3名工人选择的项目所属类别互不相同”为事件 $A$。 则 3 人各选一类互不相同的项目共有 ${\mathrm{A}}_3^3=6$ 种排列方式。 故所求概率为： $P(A)={\mathrm{A}}_3^3\cdot P_1{P}_2{P}_3=6\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$

(2) 每位工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的概率为： $p=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$ 由于 3 名工人选择时互不影响，所以随机变量 $\xi$ 服从二项分布，即 $\xi \sim B\left(3,\frac{2}{3}\right)$。 $\xi$ 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3。

计算各个取值对应的概率：

• $P(\xi =0)={\mathrm{C}}_3^0\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$
• $P(\xi =1)={\mathrm{C}}_3^1\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^1\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$
• $P(\xi =2)={\mathrm{C}}_3^2\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^2\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^1=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$
• $P(\xi =3)={\mathrm{C}}_3^3\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$

所以，$\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

由于 $\xi \sim B\left(3,\frac{2}{3}\right)$，根据二项分布的数学期望公式可得： $E(\xi )=n\cdot p=3\times \frac{2}{3}=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件的乘法公式，二项分布 $B(n,p)$ 的识别及其分布列、期望公式。
2. 核心方法：模型化法（将多元选择合并化简为独立的二进判断）。
3. 避坑指南：第(1)问极易漏掉全排列数 ${\mathrm{A}}_3^3$，3名工人是不同的个体，选出的项目种类互不相同存在先后分配关系；第(2)问在合并基础设施和产业建设工程的概率时，应注意其为互斥事件，直接相加。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中“独立重复试验与二项分布”的常规应用题，通过社会经济建设大背景进行设问，考查数学建模的初等应用。
2. 结论推广：若某实验有 $m$ 种独立结果，其概率分别为 $p_1,p_2,\dots ,p_m$，进行 $n$ 次独立重复试验，其中某几种结果发生的总次数 $\xi$ 必然服从参数为 $n$ 和该几种结果概率之和 $p$ 的二项分布。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率