2009-福建卷文-07 单-解三角形面积求角

本题导读

考查解三角形。$\sin C=\frac{2S}{BC\cdot CA}=\frac{6\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，锐角三角形中 $C=60^{\circ }$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 已知锐角 $△ABC$ 的面积为 $3\sqrt{3}$，$BC=4$，$CA=3$，则角 $C$ 的大小为 ()

A. $75^{\circ }$　　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　　C. $45^{\circ }$　　　　　　　D. $30^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 面积公式：$S=\frac{1}{2}BC\cdot CA\cdot \sin C$。
2. 代入得 $\sin C=\frac{2\times 3\sqrt{3}}{4\times 3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
3. $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 对应 $60^{\circ }$ 或 $120^{\circ }$，三角形为锐角三角形，故 $C=60^{\circ }$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由三角形面积公式，$S=\frac{1}{2}BC\cdot CA\cdot \sin C$，所以 $3\sqrt{3}=\frac{1}{2}\times 4\times 3\times \sin C=6\sin C$， 从而 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 由于 $△ABC$ 是锐角三角形，故 $C=60^{\circ }$。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形与面积公式

核心方法：$S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 反求正弦后定角

避坑指南：$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 对应 $60^{\circ }$ 与 $120^{\circ }$ 两个角，“锐角三角形”是排除 $120^{\circ }$ 的唯一依据，读题时先圈出。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面积公式选”两边夹角”形式最直接。

结论推广：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$，夹角是已知两边的夹角。

方法推广：正弦值定角时必查”锐角/钝角”限定条件，否则会双解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2009-大纲卷II文-18 解-解三角形求角
• 2011-新课标卷文-15 填-余弦定理与面积
• 2009-浙江卷文-18 解-解三角形与向量