2009-福建卷理-05 单-函数

本题导读

本题考查函数的单调性定义、常见基本初等函数的性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 下列函数 $f(x)$ 中，满足“对任意 $x_1,x_2\in (0,+\infty )$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)>f(x_2)$”的是 ()

A. $f(x)=\frac{1}{x}$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $f(x)=(x-1{)}^2$

C. $f(x)={\text{e}}^x$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $f(x)=\ln (x+1)$

🔍【思路分析】

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1. 分析题干给出的数学关系式，识别出该条件等价于“函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty )$ 上是严格减函数”。

2. 逐一审查四个选项中给出的基本初等函数在区间 $(0,+\infty )$ 上的单调性，找出符合减函数性质的选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

题干中条件“对任意 $x_1,x_2\in (0,+\infty )$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)>f(x_2)$”表示函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。

• 对于 A：反比例函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，符合题意；

• 对于 B：二次函数 $f(x)=(x-1{)}^2$ 的对称轴为 $x=1$，在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty )$ 上单调递增，不符合题意；

• 对于 C：指数函数 $f(x)={\text{e}}^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，故在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，不符合题意；

• 对于 D：对数函数 $f(x)=\ln (x+1)$ 在 $(-1,+\infty )$ 上单调递增，故在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，不符合题意。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数单调性的判定及初等函数图象性质。

2. 核心方法：定义转化法，将自变量与因变量符号相异的关系转化为减函数定义。

3. 避坑指南：注意区间限定在 $(0,+\infty )$，部分函数（如 B 选项）在局部可能递减，但在整个指定开区间内并不具有单一单调性，需整体考量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自必修一函数性质章节的课后概念辨析题，直接考查学生对单调性第一定义的准确理解。

2. 结论推广：对任意 $x_1\ne x_2$，若满足 $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0$，则函数在相应区间内为严格减函数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性