2009-福建卷理-08 单-古典概型

本题导读

本题考查随机模拟与几何概型、古典概型与概率估算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%. 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率: 先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数, 指定 1, 2, 3, 4 表示命中, 5, 6, 7, 8, 9, 0 表示不命中; 再以每三个随机数为一组, 代表三次投篮的结果. 经随机模拟产生了 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ()

A. 0.35　　　　　B. 0.25　　　　　C. 0.20　　　　　D. 0.15

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据题目规则，找出数字中属于 $\{1,2,3,4\}$ 的代表“命中”，属于 $\{5,6,7,8,9,0\}$ 的代表“不命中”。

2. 逐组检查 20 组三位数，统计其中“恰好包含两个命中数字”的组数 $N$。

3. 利用公式 $P=\frac{N}{20}$ 计算概率估计值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，在一组三位随机数中，“恰有两次命中”意味着该组数字中恰有两个数字在 $\{1,2,3,4\}$ 之中，另一个数字在 $\{5,6,7,8,9,0\}$ 之中。 逐一分析这 20 组随机数：

• 907，966：无命中；
• 191：包含 1, 1 两个命中，符合题意（第 1 组）；
• 925：包含 2 一个命中；
• 271：包含 2, 1 两个命中，符合题意（第 2 组）；
• 932：包含 3, 2 两个命中，符合题意（第 3 组）；
• 812：包含 1, 2 两个命中，符合题意（第 4 组）；
• 458：包含 4 一个命中；
• 569：无命中；
• 683：包含 3 一个命中；
• 431：包含 4, 3, 1 三个命中；
• 257：包含 2 一个命中；
• 393：包含 3, 3 两个命中，符合题意（第 5 组）；
• 027：包含 2 一个命中；
• 556，488，730：均只包含一个命中；
• 113：包含 1, 1, 3 三个命中；
• 537：包含 3 一个命中；
• 989：无命中。

综上所述，恰有两次命中的随机数组共有 5 组（分别为：191, 271, 932, 812, 393）。 因此，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率估计值为： $P=\frac{5}{20}=0.25$. 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：随机模拟试验的统计原理。

2. 核心方法：分类计数与频数决定概率法。

3. 避坑指南：容易把“恰有两次命中”与“至少两次命中”混淆，从而错误地把包含三个命中数字的组（如 431 和 113）也算进去，导致计数偏差。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于课本概率单元中关于“模拟方法估计概率”的实习作业题，旨在引导考生体会数学在实际统计估算中的应用。

2. 结论推广：利用二项分布公式精确计算该事件的理论概率为 $P={\text{C}}_3^2\times 0.4^2\times 0.6=3\times 0.16\times 0.6=0.288$。可见通过 20 次小样本模拟得到的 0.25 是对理论值的一个近似估计。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-12 填-古典概型概率
• 2013-湖南卷文-09 单-几何概型概率
• 2013-辽宁卷理-19 解-古典概型的概率计算