2012-浙江卷文-12 填-古典概型概率

本题导读

本题考查古典概型，以及排列组合的计数。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 从边长为 $1$ 的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的概率是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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五点取两点共 $10$ 种，距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的是中心与顶点的 $4$ 种，概率 $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。

✅【答案】

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$\frac{2}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

五点中任取两点，共有 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种等可能取法。

边长为 $1$ 的正方形中：顶点间距离为 $1$ 或 $\sqrt{2}$；中心到各顶点的距离为对角线的一半，即 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

故距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的取法是”中心与某个顶点”配对，共 $4$ 种。

所求概率 $P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型的概率计算；组合计数

核心方法：用 ${\mathrm{C}}_5^2$ 算总数，按距离分类数出有利场合

避坑指南：中心到顶点的距离是对角线长的一半 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，而不是 $1$；中心只有一个，别把 $4$ 种配对算成 $5$ 种。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型计数题，与 2013 年天津卷文第 15 题、2014 年天津卷理第 16 题同族。

结论推广：$P=\frac{m}{{\mathrm{C}}_n^2}$；正方形中心到顶点距离 $=\frac{\text{对角线}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times$ 边长。

方法推广：概率小题三步：定样本空间（等可能）→ 分类计数有利事件 → 作比并核对分类不重不漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-15 解-古典概型与估计
• 2013-广东卷文-17 解-分层抽样与古典概型
• 2014-天津卷理-16 解-古典概型及其概率计算公式