2013-辽宁卷理-19 解-古典概型的概率计算

本题导读

本题考查古典概型。核心在于对立事件法、相互独立事件的概率乘法公式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答.

(1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；

(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是 $\frac{3}{5}$，答对每道乙类题的概率都是 $\frac{4}{5}$，且各题答对与否相互独立.用 $X$ 表示张同学答对题的个数，求 $X$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问用对立事件：从 10 道题中任取 3 道共有 ${\mathrm{C}}_{10}^3$ 种取法；「至少取到 1 道乙类题」的对立事件是「3 道全是甲类题」，其取法为 ${\mathrm{C}}_6^3$。
2. 第二问识别模型：所答 3 题固定为「2 道甲类 + 1 道乙类」，且各题答对相互独立，可把 $X$ 看成两个独立两点分布之和，按 $X$ 的取值逐个求概率。
3. 列分布列并求期望：按 $X=0,1,2,3$ 分别计算概率，列成表格；期望既可用定义求，也可用线性性质 $E(X)=2\times \frac{3}{5}+1\times \frac{4}{5}$。

✅【答案】

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(1)$\frac{5}{6}$

(2)$P(X=0)=\frac{4}{125}$，$P(X=1)=\frac{28}{125}$，$P(X=2)=\frac{57}{125}$，$P(X=3)=\frac{36}{125}$，$E(X)=2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求张同学至少取到 1 道乙类题的概率

从 10 道题中任取 3 道的取法总数为 ${\mathrm{C}}_{10}^3=120$。 记事件 $A$ 为「至少取到 1 道乙类题」，其对立事件 $\bar{A}$ 为「3 道全是甲类题」，取法数为 ${\mathrm{C}}_6^3=20$。 所以 $P(\bar{A})=\frac{{\mathrm{C}}_6^3}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$， 从而 $P(A)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。

所以张同学至少取到 1 道乙类题的概率为 $\frac{5}{6}$。

（2）求 $X$ 的分布列和数学期望

由题意，3 道题中甲类 2 道、乙类 1 道，各题答对与否相互独立，答对甲类题的概率均为 $\frac{3}{5}$，答对乙类题的概率为 $\frac{4}{5}$。

• $P(X=0)$：3 题均答错， $P(X=0)={\left(\frac{2}{5}\right)}^2\times \frac{1}{5}=\frac{4}{25}\times \frac{1}{5}=\frac{4}{125}.$

• $P(X=1)$：恰答对 1 题，分「答对 1 道甲类」与「答对乙类」两类， $P(X=1)=2\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{5}\times \frac{1}{5}+{\left(\frac{2}{5}\right)}^2\times \frac{4}{5}=\frac{12}{125}+\frac{16}{125}=\frac{28}{125}.$

• $P(X=2)$：恰答对 2 题，分「2 道甲类全对」与「甲、乙各对 1 道」两类， $P(X=2)={\left(\frac{3}{5}\right)}^2\times \frac{1}{5}+2\times \frac{3}{5}\times \frac{2}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{9}{125}+\frac{48}{125}=\frac{57}{125}.$

• $P(X=3)$：3 题全对， $P(X=3)={\left(\frac{3}{5}\right)}^2\times \frac{4}{5}=\frac{36}{125}.$

所以 $X$ 的分布列为

$X$	0	1	2	3
$P$	$\frac{4}{125}$	$\frac{28}{125}$	$\frac{57}{125}$	$\frac{36}{125}$

（四概率之和 $\frac{4+28+57+36}{125}=1$，验证正确。）

数学期望 $E(X)=0\times \frac{4}{125}+1\times \frac{28}{125}+2\times \frac{57}{125}+3\times \frac{36}{125}=\frac{28+114+108}{125}=\frac{250}{125}=2.$

所以 $X$ 的分布列如上表，数学期望 $E(X)=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型的概率计算、离散型随机变量的分布列与数学期望。

核心方法：对立事件法（第一问）加 相互独立事件的概率乘法公式（第二问）。第二问也可把 $X$ 看成 2 个甲类两点分布（参数 $\frac{3}{5}$）与 1 个乙类两点分布（参数 $\frac{4}{5}$）之和，直接用期望的线性性质得 $E(X)=2$。

避坑指南：- 第一问「至少取到 1 道」用对立事件最简，不要正面按取到 1、2、3 道乙类题分类。 - 第二问的「甲类 2 道、乙类 1 道」是已取定的条件，求概率时不必再乘取到这些题的概率。 - 「恰答对 1 题」中答对的那题可能是甲类也可能是乙类，两种情况要分别处理，且「答对 1 道甲类」有 2 道甲类可选，别漏系数 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型、对立事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列与数学期望。

结论推广：若每道题答对的概率均为 $p$，则 3 题答对题数 $X\sim B(3,p)$，$E(X)=3p$；本题中两类题概率不同，只能按类分解，但期望的线性性质仍然成立。

方法推广：凡「若干道相互独立的题，各类题答对概率不同」的题目，都可用「分类 + 独立乘法」求分布列，用期望的线性性质求期望。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型
• 2015-广东卷文-07 单-古典概型
• 2015-山东卷文-16 解-古典概型