2009-福建卷理-10 单-集合

本题导读

本题考查二次函数的图象与对称性、复合方程的根的分布，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$) 的图象关于直线 $x=-\frac{b}{2a}$ 对称. 据此可推测，对任意的非零实数 $a,b,c,m,n,p$，关于 $x$ 的方程 $m[f(x){]}^2+nf(x)+p=0$ 的解集都不可能是 ()

A. $\{1,2\}$　　　B. $\{1,4\}$　　　C. $\{1,2,3,4\}$　　　D. $\{1,4,16,64\}$

🔍【思路分析】

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1. 将复合方程通过换元法变形，令 $t=f(x)$，原方程转化为关于 $t$ 的一元二次方程 $m{t}^2+nt+p=0$。

2. 分析一元二次方程实根的个数情况（至多两个实根 $t_1,t_2$），则原方程的解集是方程 $f(x)=t_1$ 的解集与 $f(x)=t_2$ 的解集的并集。

3. 利用二次函数 $f(x)$ 关于直线 $x=x_0$ 对称的特点，得出每一个子解集（若有两根）必须关于 $x_0$ 对称，进而得出 4 个根的解集必须能两两配对且拥有完全相同的对称轴中心。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=f(x)$，关于 $t$ 的方程 $m{t}^2+nt+p=0$ 作为一元二次方程，其在实数范围内至多有两个不相等的实数根，设为 $t_1,t_2$。 因此，原方程的实数解集等价于方程组 $f(x)=t_1$ 或 $f(x)=t_2$ 的所有实根的集合。 已知二次函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=x_0=-\frac{b}{2a}$ 对称：

• 若方程 $f(x)=t_i$ 有两个不相等的实根，则这两根必关于直线 $x=x_0$ 对称，它们的算术平均数等于 $x_0$，即两根之和为 $2x_0$；
• 若方程 $f(x)=t_i$ 有一个实根（顶点处），则该根必为 $x_0$。

下面对各个选项的解集进行对称轴匹配检验：

• 对于 A：若解集为 $\{1,2\}$，则两根关于 $x=1.5$ 对称，可能成立；
• 对于 B：若解集为 $\{1,4\}$，则两根关于 $x=2.5$ 对称，可能成立；
• 对于 C：若解集为 $\{1,2,3,4\}$，这四个数可以分为两组：$\{1,4\}$ 和 $\{2,3\}$。由于 $1+4=5$， $2+3=5$，它们拥有共同的对称中心 $x_0=2.5$，可能成立（此时由两个不同的 $t$ 值各贡献一组对称根）；
• 对于 D：若解集为 $\{1,4,16,64\}$。若方程有 4 个不同的实根，则它们必须能两两配对，使得每组的和相等。但在此集合中，无论如何组合（如 $1+64\ne 4+16$ 且 $1+16\ne 4+64$ ），都无法使两组对偶元素拥有相同的对称中点。

由此可知，解集 $\{1,4,16,64\}$ 破坏了二次函数复合方程解集的整体对称平衡性，绝对不可能出现。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数的对称性质及复合方程“整体代换”的根个数拓扑关系。

2. 核心方法：图象对称分析法与对偶元素求和验证法。

3. 避坑指南：切忌盲目尝试去求解具体的 $a,b,c,m,n,p$ 参数，这会陷入巨大的运算泥潭。抓住核心提示“图象关于直线对称”，将其映射到根的形式上去看是唯一的解题捷径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是高考中常考的“新定义与性质推测”创新题，考查学生通过已知简单的几何性质（二次函数轴对称）向高阶代数结构（复合方程解集结构）进行逻辑外推的能力。

2. 结论推广：若一元 $n$ 次多项式 $P(x)$ 的图象关于直线 $x=x_0$ 对称，则任意以其为元复合的代数方程 $Q(P(x))=0$ 的非空实根集，若其元素个数为偶数，则各元素必能成对组合且每对之和恒为 $2x_0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域