2009-辽宁卷理-04 单-圆的标准方程

本题导读

本题考查圆的方程的求解。利用两平行切线的距离求出半径，并利用两平行切线的中分线与已知直线的交点求出圆心坐标是解题的核心。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 已知圆 $C$ 与直线 $x-y=0$ 及 $x-y-4=0$ 都相切，圆心在直线 $x+y=0$ 上，则圆 $C$ 的方程为 ()

A. $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=2$　　　　　　　　　　　　B. $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=2$

C. $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$　　　　　　　　　　　　D. $(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算两条平行直线间的距离，得出圆的直径和半径。
2. 求出两条平行切线的中分线方程，将其与 $x+y=0$ 联立求得圆心坐标。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

圆 $C$ 与平行直线 $L_1:x-y=0$ 及 $L_2:x-y-4=0$ 都相切， 则圆的直径等于两平行线间的距离：$2r=\frac{|0-(-4)|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$， 所以 $r=\sqrt{2}$，即 $r^2=2$。 圆心所在的直线为 $L_1$ 与 $L_2$ 的中分线，其方程为 $x-y-2=0$。 又因为圆心在直线 $x+y=0$ 上，联立方程组求圆心坐标： $\{\begin{array}{l}x-y-2=0\\ x+y=0\end{array}$ 解得 $x=1,y=-1$，即圆心 $C$ 的坐标为 $(1,-1)$。 所以圆 $C$ 的方程为 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=2$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平行线间的距离公式，圆的标准方程。
2. 核心方法：数形结合，利用“平行切线的中分线必过圆心”这一几何性质。
3. 避坑指南：求半径时需注意两平行线间距离是直径 $2r$ 而非半径 $r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高中解析几何圆与直线位置关系的基础题。
2. 结论推广: 若圆与两平行线 $Ax+By+C_1=0$ 和 $Ax+By+C_2=0$ 相切，则圆心必在直线 $Ax+By+\frac{C_1+C_2}{2}=0$ 上，且半径 $r=\frac{|C_1-C_2|}{2\sqrt{A^2+B^2}}$。

🔗【关联脉络】

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B

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2014-江苏卷-17 解-椭圆的标准方程