2009-辽宁卷理-08 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数 $y=A\cos (\omega x+\phi )$ 的解析式求解。通过图象中的零点计算周期以确定 $\omega$，再结合零点附近的单调性确定初相 $\phi$，最后代入已知特殊点求振幅 $A$。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 已知函数 $f(x)=A\cos (\omega x+\phi )$ 的图象如图所示, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{2}{3}$, 则 $f(0)=$ ()

A. $-\frac{2}{3}$　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由图象中两个相邻的零点横坐标相减，求出半周期 $\frac{T}{2}$，进而得到 $\omega$。
2. 观察图象在 $x=\frac{7\pi }{12}$ 处穿过 $x$ 轴且单调递增，利用此特征代入相位方程解出初相 $\phi$。
3. 将求得的 $\omega$ 和 $\phi$ 代入 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{2}{3}$ 中解出 $A$。
4. 计算 $f(0)$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由图象可知，函数相邻两个零点分别为 $x_1=\frac{7\pi }{12}$ 和 $x_2=\frac{11\pi }{12}$。 则半周期 $\frac{T}{2}=\frac{11\pi }{12}-\frac{7\pi }{12}=\frac{\pi }{3}$，所以周期 $T=\frac{2\pi }{3}$。 由 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 得 $\omega =3$。 又因为图象在 $x=\frac{7\pi }{12}$ 处与 $x$ 轴相交，且在该点附近单调递增， 所以 $3\times \frac{7\pi }{12}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$。 即 $\frac{7\pi }{4}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi$，取 $k=0$ 得 $\phi =-\frac{\pi }{4}$。 所以 $f(x)=A\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$。 已知 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{2}{3}$，代入得： $A\cos \left(3\times \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)=A\cos \left(\frac{5\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}A=-\frac{2}{3}$， 解得 $A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。 所求 $f(0)=A\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{3}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的图象识别，解析式 $f(x)=A\cos (\omega x+\phi )$ 中各参数的求法。
2. 核心方法：利用两零点定周期，利用“零点+单调性”定初相（即“五点法”逆用）。
3. 避坑指南：在代入零点求 $\phi$ 时，务必结合图象的单调趋势。图象在 $x=\frac{7\pi }{12}$ 处是由负变正（递增），所以其对应的整体相位是 $\frac{3\pi }{2}$ 而非 $\frac{\pi }{2}$。若错判为 $\frac{\pi }{2}$ 会导致符号全错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考经典的小综合图象题。
2. 结论推广: 对于 $\cos (\omega x+\phi )$，零点且递增对应相位 $\frac{3\pi }{2}+2k\pi$；零点且递减对应相位 $\frac{\pi }{2}+2k\pi$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数