2009-辽宁卷理-19 解-二项分布

本题导读

本题综合考查独立重复试验模型、随机变量的分布列以及分类讨论下的概率计算。第(1)问是标准的二项分布应用；第(2)问在“目标恰好被击中2次”这一条件概率背景下，考查对事件发生的区域概率进行等比例划分和独立计算。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 某人向一目标射击 4 次，每次击中目标的概率为 $\frac{1}{3}$. 该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为 $1:3:6$. 击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比.

(1) 设 $X$ 表示目标被击中的次数，求 $X$ 的分布列；

(2) 若目标被击中 2 次，$A$ 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次”，求 $PA.$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对于第(1)问，$X$ 表示 4 次独立射击中击中目标的次数。每次击中目标的概率恒为 $\frac{1}{3}$，故 $X$ 服从二项分布 $B\left(4,\frac{1}{3}\right)$，代入二项分布概率公式直接列出分布列。
2. 对于第(2)问，在“目标被击中2次”的前提下，需要先求出每次击中目标时，击中第一、二、三部分的概率。由比例关系可得它们分别为 $\frac{1}{10},\frac{3}{10},\frac{6}{10}$。利用对立事件简化计算：事件 $A$ 的对立事件 $\bar{A}$ 表示“第一部分未被击中，且第二部分至多被击中1次”。在2次击中中进行分类计算即可。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意，每次射击相当于一次独立重复试验，每次击中目标的概率为 $p=\frac{1}{3}$。 所以 $X\sim B\left(4,\frac{1}{3}\right)$。 $X$ 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, 4。 $P(X=k)={\mathrm{C}}_4^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{\left(\frac{2}{3}\right)}^{4-k}$ ($k=0,1,2,3,4$)。 计算各项概率： $P(X=0)={\mathrm{C}}_4^0{\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{16}{81}$； $P(X=1)={\mathrm{C}}_4^1\left(\frac{1}{3}\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{32}{81}$； $P(X=2)={\mathrm{C}}_4^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$； $P(X=3)={\mathrm{C}}_4^3{\left(\frac{1}{3}\right)}^3\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{81}$； $P(X=4)={\mathrm{C}}_4^4{\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\frac{1}{81}$。

故 $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2	3	4
$P$	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

(2) 设击中目标时，击中第一、二、三部分的事件分别为 $B_1,B_2,B_3$。 因为击中各部分的概率与其面积成正比，且面积比为 $1:3:6$， 所以 $P(B_1)=\frac{1}{1+3+6}=\frac{1}{10}$， $P(B_2)=\frac{3}{10}$， $P(B_3)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。 在目标被击中 2 次的前提下，每次击中各部分的概率保持不变，且 2 次击中相互独立。 事件 $A$ 的对立事件 $\bar{A}$ 为“第一部分未被击中，且第二部分至多被击中 1 次”。 由于第一部分未被击中，2次击中只能落在第二部分或第三部分。 在第一部分未被击中的前提下，2次击中分配给第二、三部分的情况共有： ① 2次均击中第三部分，其概率为： $P_1={\mathrm{C}}_2^0{\left(\frac{3}{10}\right)}^0{\left(\frac{6}{10}\right)}^2=\frac{36}{100}=\frac{9}{25}$； ② 恰有 1 次击中第二部分，1 次击中第三部分，其概率为： $P_2={\mathrm{C}}_2^1{\left(\frac{3}{10}\right)}^1{\left(\frac{6}{10}\right)}^1=\frac{36}{100}=\frac{9}{25}$。 故对立事件 $\bar{A}$ 的概率为： $P(\bar{A})=P_1+P_2=\frac{36}{100}+\frac{36}{100}=\frac{72}{100}=\frac{18}{25}$。 因此，所求事件 $A$ 的概率为： $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}$（或 $0.28$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布分布列的求法，利用面积比确定事件发生的概率，对立事件概率计算。
2. 核心方法：

• 寻找对立事件简化计算：事件 $A$ 的正面分支较多（包含：第一部分击中1次且第二部分0/1/2次、第一部分击中2次等），转化为其对立事件 $\bar{A}$（第一部分未击中，且第二部分击中 $0$ 次或 $1$ 次）能显著减少分类。

3. 避坑指南：第(2)问的计算是在“目标被击中2次”的既定前提下进行的，每次击中各部分的概率应该以比例 $\frac{1}{10},\frac{3}{10},\frac{6}{10}$ 作为单次试验概率，切勿与射击击中目标的概率 $\frac{1}{3}$ 再次相乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自概率论中的多项分布（Multinomial distribution）在受限样本下的条件边缘分布计算。
2. 结论推广: 一般地，若一个试验有多种互斥结果 $A_1,A_2,\cdots ,A_k$，概率之比为 $w_1:w_2:\cdots :w_k$。在试验成功 $n$ 次的前提下，结果出现的频数分布满足多项分布，可用组合数与独立重复试验公式进行精确计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率
• 2011-大纲卷文-19 解-独立事件概率