2009-重庆卷文-10 单-三次函数平移交点

本题导读

考查图象平移与恒成立。$\Delta ⩽0⟺v⩾3u-\frac{u^3}{4}$，右端在 $u=2$ 处取最大值 $4$，故 $v_{\min }=4$，选 B。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 把函数 $f(x)=x^3-3x$ 的图象 $C_1$ 向右平移 $u$ 个单位长度，再向下平移 $v$ 个单位长度后得到图象 $C_2$.若对任意的 $u>0$，曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 至多只有一个交点，则 $v$ 的最小值为 ()

A. $2$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $C_2$：$y=f(x-u)-v$，交点满足 $f(x)=f(x-u)-v$。
2. 化简得 $3u{x}^2-3u^{2}x+u^3-3u+v=0$。
3. 至多一个交点 $⟺\Delta =-3u(u^3-12u+4v)⩽0$， 即 $v⩾3u-\frac{u^3}{4}$ 对一切 $u>0$ 成立。
4. $g(u)=3u-\frac{u^3}{4}$，$g^{\prime }(u)=3-\frac{3u^2}{4}$，$u=2$ 处取最大值 $4$。
5. 故 $v⩾4$，最小值为 $4$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

向右平移 $u$ 个单位、向下平移 $v$ 个单位后，曲线 $C_2$ 的方程为 $y=f(x-u)-v$。 交点的横坐标满足 $f(x)=f(x-u)-v$，即 $3u{x}^2-3u^{2}x+u^3-3u+v=0.$ 因为 $u>0$，要使任意 $u>0$ 时至多有一个交点，必须且只需该关于 $x$ 的二次方程判别式不大于零。 其判别式为 $\Delta =9u^4-12u(u^3-3u+v)=-3u(u^3-12u+4v).$ 所以需对一切 $u>0$ 有 $u^3-12u+4v⩾0$，即 $v⩾3u-\frac{u^3}{4}.$ 函数 $3u-\frac{u^3}{4}$ 在 $u>0$ 上的导数为 $3-\frac{3u^2}{4}$，故其最大值在 $u=2$ 处取得，最大值为 $4$。 因此 $v$ 的最小值为 $4$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：图象平移与交点个数

核心方法：交点方程化为关于 $x$ 的二次方程，$\Delta ⩽0$ 对 $u$ 恒成立

避坑指南：$\Delta =-3u(u^3-12u+4v)⩽0⟺v⩾3u-\frac{u^3}{4}$；对一切 $u>0$ 成立要取右端最大值 $4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“至多一个交点”对任意 $u$ 成立，是恒成立问题，转化为最值。

结论推广：三次减三次得二次：$x^3$ 项恰好抵消，是本题可解的关键。

方法推广：求 $3u-\frac{u^3}{4}$ 最大值用导数：$u=2$ 时取得 $4$；端点 $u\to 0^{+}$ 时为 $0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2009-天津卷文-10 单-导数构造恒成立
• 2009-大纲卷II文-09 单-正切图象平移重合
• 2009-北京卷文-04 单-对数图象平移