2009-重庆卷理-03 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理、二项式展开式的通项公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） ${\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^8$ 的展开式中 $x^4$ 的系数是 ()

A. 16　　　　　　B. 70　　　　　　C. 560　　　　　　D. 1120

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$，并进行底数 $x$ 的指数幂次合并。

2. 令 $x$ 的总指数等于 4，解出参数 $r$ 的值。

3. 将 $r$ 代入系数部分计算出最终的数值。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

解：根据二项式定理， ${\left(x^2+\frac{2}{x}\right)}^8$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_8^r(x^2{)}^{8-r}{\left(\frac{2}{x}\right)}^r={\text{C}}_8^r\cdot 2^r\cdot x^{16-2r}\cdot x^{-r}={\text{C}}_8^r\cdot 2^r\cdot x^{16-3r}$ 令 $16-3r=4$，解得 $3r=12⟹r=4$。 将 $r=4$ 代入系数部分，可得 $x^4$ 的系数为： ${\text{C}}_8^4\cdot 2^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}\times 16=70\times 16=1120$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$；指数幂的运算法则。

2. 核心方法：通项待定系数法。

3. 避坑指南：通项公式中第二项的系数 2 容易在合并自变量时被漏算，务必将其与组合数一并归为常数项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材中二项式定理章节求指定项系数的经典母题，属于历届高考考查概率最高的基本题型之一。

2. 结论推广: 二项式 ${\left(x^m+\frac{k}{x^n}\right)}^N$ 展开式中常数项或指定次项的求法均可通过方程 $(m+n)r=mN-p$ 进行通解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理