2009-重庆卷理-05 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的几何意义、不等式恒成立问题。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 不等式 $|x+3|-|x-1|⩽a^2-3a$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 ()

A. $(-\infty ,-1]\cup [4,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　B. $(-\infty ,-2]\cup [5,+\infty )$

C. $[1,2]$　　　　　　　　　　　　　　　　　D. $(-\infty ,1]\cup [2,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用绝对值三角不等式求出左侧函数 $f(x)=|x+3|-|x-1|$ 的最大值。
2. 要使不等式对任意实数恒成立，只需满足左侧函数的最大值不超过右侧的代数式。
3. 联立不等式求解关于 $a$ 的一元二次不等式。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：记 $f(x)=|x+3|-|x-1|$。 根据绝对值三角不等式性质，对任意实数 $x$ 恒有： $|x+3|-|x-1|⩽|(x+3)-(x-1)|=4$ 即 $f(x)$ 的最大值为 4。 要使原不等式对任意实数 $x$ 恒成立，只需： $4⩽a^2-3a⟹a^2-3a-4⩾0$ 解此一元二次不等式得： $(a-4)(a+1)⩾0⟹a⩽-1\text{ 或 }a⩾4$ 故实数 $a$ 的取值范围为 $(-\infty ,-1]\cup [4,+\infty )$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值三角不等式 $||a|-|b||⩽|a\pm b|$；恒成立问题向最值的转化。
2. 核心方法：最值转化法。
3. 避坑指南：容易盲目采用分段讨论法去解左边绝对值，虽然能求出最值，但极其浪费时间。直接利用几何意义或三角不等式可瞬间破题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自教材中绝对值不等式的代数性质应用习题，重点考查数形结合与整体放缩的代数基本功。
2. 结论推广: 函数 $f(x)=|x+m|-|x-n|$ 的最大值为 $|m+n|$。若 $f(x)⩽g(a)$ 恒成立，其必要条件为 $g(a)⩾|m+n|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式