2009-重庆卷理-07 单-三角函数

本题导读

本题考查平面向量的数量积坐标运算、三角函数的诱导公式与辅助角公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 设 $\Delta ABC$ 的三个内角 $A,B,C$，向量 $\vec{m}=(\sqrt{3}\sin A,\sin B)$, $\vec{n}=(\cos B,\sqrt{3}\cos A)$，若 $\vec{m}\cdot \vec{n}=1+\cos (A+B)$，则 $C=$ ()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用向量数量积坐标公式计算 $\vec{m}\cdot \vec{n}$，并用两角和的正弦公式化简。
2. 根据三角形内角和性质 $A+B=\pi -C$，将式子中的 $A+B$ 全部转化为角 $C$。
3. 利用辅助角公式将方程化为名义正弦单项式，结合内角范围求出角 $C$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：根据向量数量积公式与两角和的正弦展开式可得： $\vec{m}\cdot \vec{n}=\sqrt{3}\sin A\cos B+\sqrt{3}\cos A\sin B=\sqrt{3}(\sin A\cos B+\cos A\sin B)=\sqrt{3}\sin (A+B)$ 在 $\Delta ABC$ 中， $A+B+C=\pi ⟹A+B=\pi -C$。 根据诱导公式有： $\sin (A+B)=\sin (\pi -C)=\sin C$ $\cos (A+B)=\cos (\pi -C)=-\cos C$ 将上述关系代入已知等式 $\vec{m}\cdot \vec{n}=1+\cos (A+B)$ 中，得： $\sqrt{3}\sin C=1-\cos C⟹\sqrt{3}\sin C+\cos C=1$ 利用辅助角公式化简左边： $2\sin \left(C+\frac{\pi }{6}\right)=1⟹\sin \left(C+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ 因为 $C\in (0,\pi )$，所以 $C+\frac{\pi }{6}\in \left(\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right)$。 由此可确定唯一的解： $C+\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}⟹C=\frac{2\pi }{3}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和的正弦公式；辅助角公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$；三角形内角范围对解的制约。
2. 核心方法：边角及三角公式化归法。
3. 避坑指南：在解出 $\sin \left(C+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ 时，必须紧扣整体角 $C+\frac{\pi }{6}$ 的实际范围约束，切勿粗心直接写出锐角解 $C+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$（这会导致 $C=0$，引发几何矛盾）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材三角恒等变换与向量工具融合的进阶基础题，常作为考查基础公式熟练度的选择题。
2. 结论推广: 三角方程 $\sqrt{3}\sin x+\cos x=1$ 的通解结构为 $x=2k\pi$ 或 $x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$。在三角形内角大前提下，该非零解恒为 $\frac{2\pi }{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数