2009-重庆卷理-08 单-函数

本题导读

本题考查函数的极限运算、代数式通化与合并。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 已知 ${\lim }_{x\to \infty }\left(\frac{2x^2}{x+1}-ax-b\right)=2$，其中 $a,b\in \mathbf{R}$，则 $a-b$ 的值为 ()

A. -6　　　　　　　B. -2　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对括号内的代数式进行通分，合并为单一分式。

2. 由于分母为一次式且极限为有限常数，分子二次项系数必须为 0，从而求得 $a$。

3. 利用最高次项系数之比等于极限值，解出 $b$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：对已知极限式进行通分变形： ${\lim }_{x\to \infty }\left(\frac{2x^2-(ax+b)(x+1)}{x+1}\right)=2$ ${\lim }_{x\to \infty }\frac{(2-a)x^2-(a+b)x-b}{x+1}=2$ 因为极限存在且为有限常数 2，而分母的最高次数为 1，所以分子的二次项系数必须为 0： $2-a=0⟹a=2$ 将 $a=2$ 代入原式，此时极限由最高次项（一次项）系数之比决定： ${\lim }_{x\to \infty }\frac{-(2+b)x-b}{x+1}=-(2+b)=2$ 解得 $b=-4$． 所以 $a-b=2-(-4)=6$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数极限的四则运算律；分式无穷远极限的次数特征。

2. 核心方法：通分待定系数法。

3. 避坑指南：通分时注意负号对后面多项式各项的分配，避免因符号看错导致 $b$ 计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材中函数极限引论章节的基础习题，主要考查极限存在性对多项式系数的约束。

2. 结论推广: 若 ${\lim }_{x\to \infty }\left(\frac{P{x}^2+Qx+R}{x+d}-ax-b\right)=k$，则必有 $a=P$，且 $Q-Pd-b=k⟹b=Q-Pd-k$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性