2009-重庆卷理-12 填-等比数列

本题导读

本题考查抽象函数方程与指数函数模型、等比数列的求和公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 设恒大于零的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+y)=f(x)f(y)$，且 $f(1)=2$，则 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{f(1)+f(2)+\cdots +f(n)}{f(n+2)}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依据抽象函数方程 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 及 $f(1)=2$，通过递推归纳确定通项 $f(n)=2^n$。

2. 将通项代入分子，利用等比数列求和公式转化为关于 $n$ 的指数式。

3. 展开分母，通分后消除最高次项的指数因子，求出无穷远处的极限值。

✅【答案】

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$12$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 且 $f(1)=2$，对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，有： $f(n)=f(1+1+\cdots +1)=[f(1){]}^n=2^n$ 则原式中的分子为首项为 2，公比为 2 的等比数列前 $n$ 项和： $f(1)+f(2)+\cdots +f(n)=2^1+2^2+\cdots +2^n=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=2^{n+1}-2$ 原式中的分母为： $f(n+2)=2^{n+2}$。 代入极限式计算可得： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2^{n+1}-2}{2^{n+2}}={\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{2^{n+1}}{2^{n+2}}-\frac{2}{2^{n+2}}\right)={\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}\right)=\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数型抽象函数模型 $f(x)=a^x$；等比数列前 $n$ 项和公式； ${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=0(|q|<1)$ 的极限性质。

2. 核心方法：指数通项代换法。

3. 避坑指南：求和时容易把首项误当成 1 算错，应当看清计数起点为 $f(1)=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材中指数函数代数方程特征性质与等比级数极限的经典交叉综合题。

2. 结论推广: 若 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 且 $f(1)=q(q>1)$，则通式 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\sum }_{i=1}^{n}f(i)}{f(n+2)}=\frac{1}{q(q-1)}$．本题中 $q=2$，代入公式即得 $\frac{1}{2(2-1)}=\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性
• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-上海卷理-20 解-指数函数