2009-重庆卷理-16 解-三角函数

本题导读

本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 设函数 $f(x)=\sin \left(\frac{\pi }{4}x-\frac{\pi }{6}\right)-2{\cos }^2\frac{\pi }{8}x+1$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 若函数 $y=g(x)$ 与 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，求当 $x\in \left[0,\frac{4}{3}\right]$ 时 $y=g(x)$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用二倍角余弦的降幂公式将 $-2{\cos }^2\frac{\pi }{8}x+1$ 变形为 $-\cos \frac{\pi }{4}x$，再利用辅助角公式将 $f(x)$ 化为单一名义正弦式，由公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 求解最小正周期。
2. 第二问：利用图象关于直线 $x=1$ 对称的代数特征，确立 $g(x)=f(2-x)$。由 $x$ 的取值范围求出新自变量 $2-x$ 的区间范围，进而代入 $f(x)$ 的简化式中求出对应正弦型函数的最大值。

✅【答案】

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（1）最小正周期为8.（2）最大值为√32.

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 对已知函数解析式进行三角恒等变换： 由二倍角余弦公式 $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$，得 $-2{\cos }^2\frac{\pi }{8}x+1=-\cos \left(2\times \frac{\pi }{8}x\right)=-\cos \frac{\pi }{4}x$。 代入原式得： $f(x)=\sin \left(\frac{\pi }{4}x-\frac{\pi }{6}\right)-\cos \frac{\pi }{4}x$ 利用两角差的正弦公式展开第一项： $f(x)=\sin \frac{\pi }{4}x\cos \frac{\pi }{6}-\cos \frac{\pi }{4}x\sin \frac{\pi }{6}-\cos \frac{\pi }{4}x$ $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \frac{\pi }{4}x-\frac{1}{2}\cos \frac{\pi }{4}x-\cos \frac{\pi }{4}x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \frac{\pi }{4}x-\frac{3}{2}\cos \frac{\pi }{4}x$ 利用辅助角公式提取 $\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{3}$： $f(x)=\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{4}x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \frac{\pi }{4}x\right)=\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{4}x-\frac{\pi }{3}\right)$ 因为 $\omega =\frac{\pi }{4}$，所以 $f(x)$ 的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{4}}=8$

(2) 因为函数 $y=g(x)$ 与 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称， 根据轴对称变换规律，恒有 $g(x)=f(2-x)$。 已知 $x\in \left[0,\frac{4}{3}\right]$，我们可以确定复合变量 $t=2-x$ 的取值范围： $-x\in \left[-\frac{4}{3},0\right]⟹t=2-x\in \left[2-\frac{4}{3},2-0\right]=\left[\frac{2}{3},2\right]$ 将 $t$ 的范围代入正弦函数的整体相位 $\Phi (t)=\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{3}$ 中： 当 $t=\frac{2}{3}$ 时， $\Phi =\frac{\pi }{4}\times \frac{2}{3}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}$； 当 $t=2$ 时， $\Phi =\frac{\pi }{4}\times 2-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$。 即相位整体处于区间 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right]$ 内。 在这个区间内，正弦函数 $y=\sin \Phi$ 保持严格单调递增， 因此，当整体角 $\Phi$ 达到最大值 $\frac{\pi }{6}$ 时（此时对应 $t=2$ 即 $x=0$），函数值取得最大。 故 $y=g(x)$ 的最大值为： $g(x{)}_{\max }=\sqrt{3}\sin \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角降幂公式 $2{\cos }^2\theta =1+\cos 2\theta$；辅助角合并技巧；关于 $x=x_0$ 对称的函数自变量映射关系 $f(2x_0-x)$。
2. 核心方法：整体角范围有界最值分析法。
3. 避坑指南：在第一问化简时，切勿漏掉展开式中的 $-\cos \frac{\pi }{4}x$，需要和展开出来的项进行同类项合并后再提取辅助角。第二问不需要强行去写出 $g(x)$ 的繁琐解析式，直接通过自变量变换范围代入原函数 $f(t)$ 的单调区间内求解，最为高效且不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材中三角恒等变换与基本初等函数图象几何性质（轴对称平移）融合的经典解答大题。
2. 结论推广: 若函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象关于直线 $x=x_0$ 对称，则得到的新函数 $g(x)=A\sin (-\omega x+2\omega x_0+\phi )$，两函数在对应对称区间上的最值保持绝对等值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数