2009-重庆卷理-17 解-分布列

本题导读

本题考查相互独立事件的概率乘法公式、离散型随机变量的分布列。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(理)） 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的 4 株大树中：

(1) 两种大树各成活 1 株的概率；

(2) 成活的株数 $\xi$ 的分布列与期望．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：将“两种大树各成活 1 株”拆分为“甲成活 1 株且乙成活 1 株”的相互独立事件。由于甲、乙各移栽 2 株，分别利用 $n=2$ 的独立重复试验概率公式（二项分布）算出各自成活 1 株的概率，最后相乘。
2. 第二问：理清成活总株数 $\xi$ 的所有可能取值（0, 1, 2, 3, 4）。对每个取值，按照甲成活 $i$ 株、乙成活 $j$ 株且 $i+j=\xi$ 进行分类穷举计算，列出分布列表格，最后利用期望定义式 $E(\xi )=\sum {\xi }_i{P}_i$ 或期望的线性性质求解。

✅【答案】

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（1）概率为29.（2）𝑃(𝜉=0)=136，𝑃(𝜉=1)=1

✍【详细解析】

Abstract

解：设“移栽的 2 株甲种大树中成活 $i$ 株”为事件 $A_i$ ($i=0,1,2$)，“移栽的 2 株乙种大树中成活 $j$ 株”为事件 $B_j$ ($j=0,1,2$)． 由于每株树是否成活互不影响，由独立重复试验概率公式可得： $P(A_0)={\text{C}}_2^0{\left(1-\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{1}{9},P(A_1)={\text{C}}_2^1\cdot \frac{2}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9},P(A_2)={\text{C}}_2^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$ $P(B_0)={\text{C}}_2^0{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4},P(B_1)={\text{C}}_2^1\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2},P(B_2)={\text{C}}_2^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

(1) 设“两种大树各成活 1 株”为事件 $M$，则 $M=A_1\cdot B_1$． 由于事件 $A_1$ 与 $B_1$ 相互独立，其概率为： $P(M)=P(A_1)\cdot P(B_1)=\frac{4}{9}\times \frac{1}{2}=\frac{2}{9}$ 答：两种大树各成活 1 株的概率为 $\frac{2}{9}$．

(2) 移栽的 4 株大树中成活的总株数 $\xi$ 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, 4． 根据独立事件的乘法公式与互斥事件的加法原理，分别计算各随机变量的对应概率：

• $P(\xi =0)=P(A_0\cdot B_0)=\frac{1}{9}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{36}$
• $P(\xi =1)=P(A_1\cdot B_0)+P(A_0\cdot B_1)=\frac{4}{9}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{9}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{9}+\frac{1}{18}=\frac{3}{18}=\frac{6}{36}$
• $P(\xi =2)=P(A_2\cdot B_0)+P(A_1\cdot B_1)+P(A_0\cdot B_2)=\frac{4}{9}\times \frac{1}{4}+\frac{4}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{9}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$
• $P(\xi =3)=P(A_2\cdot B_1)+P(A_1\cdot B_2)=\frac{4}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{4}{9}\times \frac{1}{4}=\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}=\frac{12}{36}$
• $P(\xi =4)=P(A_2\cdot B_2)=\frac{4}{9}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{9}=\frac{4}{36}$

（可得全域概率和核验： $\frac{1+6+13+12+4}{36}=\frac{36}{36}=1$，计算完全正确）

随机变量 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{12}{36}$	$\frac{4}{36}$

故成活株数 $\xi$ 的数学期望为： $E(\xi )=0\times \frac{1}{36}+1\times \frac{6}{36}+2\times \frac{13}{36}+3\times \frac{12}{36}+4\times \frac{4}{36}=\frac{6+26+36+16}{36}=\frac{84}{36}=\frac{7}{3}$

（另解：利用数学期望的线性可加性性质，设甲种成活株数为 ${\xi }_1\sim B\left(2,\frac{2}{3}\right)$，乙种成活株数为 ${\xi }_2\sim B\left(2,\frac{1}{2}\right)$． 则 $E(\xi )=E({\xi }_1)+E({\xi }_2)=2\times \frac{2}{3}+2\times \frac{1}{2}=\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布模型 $P(X=k)={\text{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$；相互独立与互斥事件概率的联合清点；期望定义计算。
2. 核心方法：

• 独立重复试验分步化归法。
• 期望线性拆分秒杀法（第二问计算均值时，利用 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 可直接避开繁琐的分布列相乘项，极大提高计算正确率）。

3. 避坑指南：计算分布列概率时，建议不要提前盲目把各分式约分为最简分数，保持分母相同（如同为 36），极其有利于最后的期望求和算数以及概率全和为 1 的归一化自我校验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材中离散型随机变量一章的课后复习综合题，是新课标高考应用题板块中关于概率与数理期望最标准的命题母体。
2. 结论推广: 设共有 $m$ 种不同的试验，每种试验独立重复进行 $n_i$ 次，单次成功概率为 $p_i$．则所有试验总成功次数的数学期望恒满足通用公式 $E(\Xi )={\sum }_{i=1}^m{n}_i{p}_i$．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率