2009-陕西卷理-06 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理、恒等式的赋值法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 若 $(1-2x{)}^{2009}=a_0+a_{1}x+\cdots +a_{2009}{x}^{2009}(x\in \mathbb{R})$，则 $\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\cdots +\frac{a_{2009}}{2^{2009}}$ 的值为 ()

A. $2$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. $-2$

🔍【思路分析】

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1. 观察目标代数式，各项系数的父母均为 $2$ 的相应方幂，说明是原恒等式中 $x=\frac{1}{2}$ 的特殊情况。

2. 目标式中不包含常数项 $a_0$，因此需通过二次赋值（令 $x=0$）求出 $a_0$，做差即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

在恒等式 $(1-2x{)}^{2009}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{2009}{x}^{2009}$ 中： 令 $x=\frac{1}{2}$，得： ${\left(1-2\times \frac{1}{2}\right)}^{2009}=a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\cdots +\frac{a_{2009}}{2^{2009}}⟹0=a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\cdots +\frac{a_{2009}}{2^{2009}}$ 令 $x=0$，得： $(1-0{)}^{2009}=a_0⟹a_0=1$ 所以，$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\cdots +\frac{a_{2009}}{2^{2009}}=0-a_0=-1$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式系数和的赋值求解技巧。

2. 核心方法：根据未知数底数的形式（如 $\frac{1}{2}$）逆向推导需要代入的 $x$ 特征值。

3. 避坑指南：注意目标求和式子中是否包含常数项 $a_0$，若不包含，必须单独剥离减去，盲目等同极易错选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是二项式系数性质的典型变形题，利用多项式函数的整体代换性质，避免了复杂的组合数计算。

2. 结论推广: 对于展开式 $(1+kx{)}^n=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$，求多项式系数偏置和时，常代入 $x=\pm \frac{1}{k}$ 来消去括号项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理