2009-陕西卷理-11 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划、目标函数的几何意义（斜率控制），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 1\\ x-y\ge -1\\ 2x-y\le 2\end{array}$，目标函数 $z=ax+2y$ 仅在点 $(1,0)$ 处取得最小值，则 $a$ 的取值范围是 ()

A. $(-1,2)$　　　B. $(-4,2)$　　　C. $(-4,0]$　　　D. $(-2,4)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制出由三个不等式围成的三角形可行域 $ABC$，求出三个顶点坐标。

2. 转化目标函数：$z=ax+2y⟹y=-\frac{a}{2}x+\frac{z}{2}$，其几何意义为斜率为 $-\frac{a}{2}$ 的平行直线系，最小值的取得对应 $y$ 轴截距最小。

3. 利用“仅在点 $(1,0)$ 处取得最小值”的条件，控制目标函数直线的斜率 $-\frac{a}{2}$ 夹在通过该顶点的两条边界直线的斜率之间。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

作约束条件对应的可行域，三条边界线分别为： $l_1:x+y=1⟹y=-x+1$，斜率 $k_1=-1$； $l_2:x-y=-1⟹y=x+1$，斜率 $k_2=1$； $l_3:2x-y=2⟹y=2x-2$，斜率 $k_3=2$。 由方程组联立可得可行域的顶点为 $A(0,1)$，$B(1,0)$，$C(3,4)$，共同围成 $△ABC$ 区域。

目标函数变形为 $y=-\frac{a}{2}x+\frac{z}{2}$，要使 $z$ 仅在点 $B(1,0)$ 处取得最小值，即当直线向下平移时，平行线系与可行域的最后（或最先）交点有且仅有 $B$ 点，则目标直线的斜率 $-\frac{a}{2}$ 必须严格介于通过点 $B$ 的两条边界线 $l_1$ 和 $l_3$ 的斜率之间。 即： $-1<-\frac{a}{2}<2$ 两边同乘以 $-2$ 改变不等号方向，得： $-4<a<2$ 所以 $a$ 的取值范围是 $(-4,2)$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划中含参目标函数的最值单一点响应条件。

2. 核心方法：利用数形结合，将“唯一点取最值”转化为“动态直线斜率严格夹在两侧边界斜率之间”的代数不等式。

3. 避坑指南：注意题目中强调“仅在”二字，说明目标函数不能与边界直线 $l_1$ 或 $l_3$ 重合，否则最值会在整条线段上取得，因此不等式两端必须取开区间，排除包含有等号的选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由常规线性规划求最值问题逆向设计的参数探索题，着重考查对“平移直线法”运动轨迹本质的理解。

2. 结论推广: 对于三角形可行域顶点 $P$，若目标函数 $z=Ax+By(B>0)$ 仅在 $P$ 处取得极值，则该直线系的斜率 $-\frac{A}{B}$ 必在过 $P$ 点的两条边界斜率组成的开区间内。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域