2009-陕西卷理-15 填-解三角形

本题导读

本题考查球的几何性质与小圆性质、球面距离与球心角的关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 如图，球 $O$ 的半径为 $2$，圆 $O_1$ 是一小圆，$O_{1}O=\sqrt{2}$，$A,B$ 是圆 $O_1$ 上两点．若 $A,B$ 两点间的球面距离为 $\frac{2\pi }{3}$，则 $\angle A{O}_{1}B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用球面距离求弦长 $AB$：由于 $A,B$ 的球面距离即大圆弧长为 $\frac{2\pi }{3}$，结合半径 $R=2$，可求得大圆球心角 $\angle AOB$。进而在等腰 $△AOB$ 中求出弦长 $AB$。

2. 求小圆半径 $r$：在直角 $△O{O}_{1}A$ 中，利用勾股定理求出小圆 $O_1$ 的半径 $r=O_{1}A$。

3. 求 $\angle A{O}_{1}B$：在 $△A{O}_{1}B$ 中，已知三边 $O_{1}A,O_{1}B,AB$ 的长度，利用余弦定理求出其夹角的余弦值，进而确定其角度。

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$\frac{\pi }{2}$（或 $90^{\circ }$）

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R=2$。因为 $A,B$ 两点间的球面距离为 $\frac{2\pi }{3}$， 所以大圆弧长 $l=R\cdot \angle AOB=2\cdot \angle AOB=\frac{2\pi }{3}⟹\angle AOB=\frac{\pi }{3}$。 在等腰 $△AOB$ 中，因为 $OA=OB=2$ 且 $\angle AOB=60^{\circ }$， 所以 $△AOB$ 是等边三角形，从而弦长 $AB=2$。

在直角 $△O{O}_{1}A$ 中，由于 $O{O}_1\perp \text{圆 }{O}_1$， 所以 $O_{1}A=\sqrt{O{A}^2-O{O}_1^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{2}$。 同理可得 $O_{1}B=\sqrt{2}$。

在 $△A{O}_{1}B$ 中，$O_{1}A=\sqrt{2}$，$O_{1}B=\sqrt{2}$，$AB=2$。 由余弦定理得： $\cos \angle A{O}_{1}B=\frac{O_1{A}^2+O_1{B}^2-A{B}^2}{2\cdot O_{1}A\cdot O_{1}B}=\frac{2+2-2^2}{2\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{0}{4}=0$ 因为 $0<\angle A{O}_{1}B<\pi$，所以 $\angle A{O}_{1}B=\frac{\pi }{2}$ （或 $90^{\circ }$）。 故填 $\frac{\pi }{2}$（或 $90^{\circ }$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的截面圆性质、球面距离公式 $d=R\theta$。

2. 核心方法：将三维空间球体距离问题，拆解为大圆截面 $△AOB$ 与小圆截面 $△A{O}_{1}B$ 两个二维平面三角形的求解。

3. 避坑指南：必须清楚球面距离是指经过两点的大圆劣弧长，其球心必须是球心 $O$，不能误用小圆心 $O_1$ 来算弧度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是立体几何小题中的高频考点，利用“球心-小圆心-球面上两点”构造直角三角形和一般三角形的嵌套模型。

2. 结论推广: 若球半径为 $R$，小圆心到球心距离为 $d$，弦长为 $c$，则小圆对应弦所对圆心角满足：$\cos \theta =1-\frac{c^2}{2(R^2-d^2)}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$\pi 2$

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-15 填-球内接体
• 2011-大纲卷文-12 单-球的截面
• 2011-大纲卷理-03 单-余弦函数