2011-大纲卷理-03 单-余弦函数

本题导读

本题考查充分条件与必要条件，以及不等式的基本性质。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)）

下面四个条件中，使 $a>b$ 成立的充分而不必要的条件是 ()

A. $a>b+1$　　　B. $a>b-1$　　　C. $a^2>b^2$　　　D. $a^3>b^3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逐项分析各条件能否推出 $a>b$（充分性）。

2. 分析 $a>b$ 能否推出该条件（不必要性即反推不成立）。

3. 借助特值反例快速排除。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 对 (A)：若 $a>b+1$，因为 $b+1>b$，所以由传递性必有 $a>b$，充分性成立；若 $a>b$，例如 $a=1,b=0.5$，不满足 $a>b+1$，必要性不成立。因此“$a>b+1$”是“$a>b$”的充分而不必要条件，符合题意。

• 对 (B)：若 $a>b-1$，取 $a=0,b=0.5$，满足条件但 $a<b$，不能推出 $a>b$，充分性不成立。

• 对 (C)：若 $a^2>b^2$，取 $a=-2,b=1$，此时 $a^2>b^2$ 但 $a<b$，充分性不成立。

• 对 (D)：函数 $y=x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增，故 $a^3>b^3⟺a>b$，是充要条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：充分条件与必要条件的判定、实数大小比较与不等式传递性。

• 核心方法：证明命题真假结合特值反例法。

• 避坑指南：区分充分条件（前推后）与必要条件（后推前）；避免把充要条件误选为充分不必要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于不等式性质章节的基础逻辑判定题。

• 结论推广：对任意常数 $c>0$，“$a>b+c$”恒为“$a>b$”的充分不必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷理-02 单-充分条件与必要条件的判定

• 2008-浙江卷理-03

• 2009-四川卷理-06