2009-陕西卷理-19 解-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列性质、离散型随机变量的数学期望。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 $\xi$ 表示，据统计，随机变量 $\xi$ 的概率分布如下： $\begin{array}{ccccc}\xi & 0& 1& 2& 3\\ p& 0.1& 0.3& 2a& a\end{array}$

(1)求 $a$ 的值和 $\xi$ 的数学期望；

(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用概率分布列中所有概率之和等于 1 建立方程，解出 $a$；然后直接套用数学期望公式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 计算。

2. 第二问：两个月共被投诉 2 次的事件，可划分为“一月 0 次二月 2 次”、“一月 1 次二月 1 次”、“一月 2 次二月 0 次”三种互斥情况，由于月份之间互不影响，利用独立事件乘法公式分别求出概率后相加即可。

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该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为：$P=0.04+0.09+0.04=0.17$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）由随机变量 $\xi$ 的概率分布列性质，各取值的概率之和为 1，得： $0.1+0.3+2a+a=1⟹3a=0.6⟹a=0.2$ 所以 $\xi$ 的概率分布列为： $\begin{array}{ccccc}\xi & 0& 1& 2& 3\\ p& 0.1& 0.3& 0.4& 0.2\end{array}$ $\xi$ 的数学期望为： $E(\xi )=0\times 0.1+1\times 0.3+2\times 0.4+3\times 0.2=0+0.3+0.8+0.6=1.7$

（2）设一月份被投诉次数为 ${\xi }_1$，二月份被投诉次数为 ${\xi }_2$． 这两个月共被投诉 2 次的事件即为 ${\xi }_1+{\xi }_2=2$． 根据互不影响的独立性，该事件包含以下三种互斥情况： ① 一月份被投诉 0 次且二月份被投诉 2 次，概率为： $P({\xi }_1=0)\cdot P({\xi }_2=2)=0.1\times 0.4=0.04$ ② 一月份被投诉 1 次且二月份被投诉 1 次，概率为： $P({\xi }_1=1)\cdot P({\xi }_2=1)=0.3\times 0.3=0.09$ ③ 一月份被投诉 2 次且二月份被投诉 0 次，概率为： $P({\xi }_1=2)\cdot P({\xi }_2=0)=0.4\times 0.1=0.04$ 综上所述，该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为： $P=0.04+0.09+0.04=0.17$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分布列全概率为 1 的隐藏条件；独立事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。

2. 核心方法：复杂随机事件的“互斥拆解法”。

3. 避坑指南：求两个月被投诉总次数时，常有学生因考虑不周，漏掉“一月 2 次且二月 0 次”或“一月 0 次且二月 2 次”中对称的一种情况导致失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于人教 A 版选修 2-3 第二章“随机变量及其分布”的经典高考应用题型改编。

2. 结论推广: 若两个独立同分布的非负整数值随机变量 $X,Y$ 的共变求和为 $n$，则其组合概率恒满足离散卷积结构：$P(X+Y=n)={\sum }_{k=0}^{n}P(X=k)P(Y=n-k)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率