2009-陕西卷理-20 解-导数

本题导读

本题考查导数的代数运算与极值概念、利用导数研究函数的单调性。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 已知函数 $f(x)=\ln (ax+1)+\frac{1-x}{1+x},x\ge 0$, 其中 $a>0$．

(1)若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值, 求 $a$ 的值;

(2)求 $f(x)$ 的单调区间;

(3)若 $f(x)$ 的最小值为 1, 求 $a$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：对 $f(x)$ 求导，利用极值点处导数为零（$f^{\prime }(1)=0$）建立方程求出 $a$，并结合定义域进行单调性检验。

2. 第二问：通分导函数 $f^{\prime }(x)$，将其分子化简为 $a{x}^2+a-2$。由于分母恒大于零，只需根据分子常数项的符号，对 $a$ 与临界值 $2$ 的大小关系进行分类讨论。

3. 第三问：借助第二问的单调性结论。若 $a\ge 2$，函数单调递增，最小值在左端点取得；若 $0<a<2$，函数先减后增，最小值必小于端点值 $f(0)=1$，据此快速锁定参数范围。

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$a$ 的取值范围是 $[2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{a}{ax+1}+\frac{-1(1+x)-(1-x)}{(1+x{)}^2}=\frac{a}{ax+1}-\frac{2}{(1+x{)}^2}=\frac{a(1+x{)}^2-2(ax+1)}{(ax+1)(1+x{)}^2}$ 化简分子得： $f^{\prime }(x)=\frac{a{x}^2+a-2}{(ax+1)(1+x{)}^2}$ 因为 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，所以 $f^{\prime }(1)=0$， 即 $\frac{a\cdot 1^2+a-2}{(a+1)(1+1{)}^2}=0⟹2a-2=0⟹a=1$。 经检验，当 $a=1$ 时，$f^{\prime }(x)=\frac{x^2-1}{(x+1{)}^3}=\frac{x-1}{(x+1{)}^2}$，在 $x=1$ 两侧导数符号由负变正，满足在 $x=1$ 处取得极小值。 故 $a$ 的值为 1。

（2）由 $x\ge 0,a>0$ 可知，$(ax+1)(1+x{)}^2>0$ 恒成立，故 $f^{\prime }(x)$ 的正负由分子 $a{x}^2+a-2$ 决定。 ① 当 $a-2\ge 0$ 即 $a\ge 2$ 时，对任意 $x\ge 0$，恒有 $a{x}^2+a-2\ge 0$，即 $f^{\prime }(x)\ge 0$。 此时 $f(x)$ 的单调递增区间为 $[0,+\infty )$，无单调递减区间。 ② 当 $0<a<2$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0$，解得唯一正根 $x=\sqrt{\frac{2-a}{a}}$。 当 $x\in \left[0,\sqrt{\frac{2-a}{a}}\right)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减； 当 $x\in \left(\sqrt{\frac{2-a}{a}},+\infty \right)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 综上所述： 当 $a\ge 2$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $[0,+\infty )$； 当 $0<a<2$ 时，$f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[0,\sqrt{\frac{2-a}{a}}\right]$，单调递增区间为 $\left[\sqrt{\frac{2-a}{a}},+\infty \right)$。

（3）易知 $f(0)=\ln 1+\frac{1}{1}=1$。 ① 当 $a\ge 2$ 时，由（2）知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增， 所以 $f(x)$ 的最小值为 $f(0)=1$，符合题意。 ② 当 $0<a<2$ 时，由（2）知 $f(x)$ 在 $\left[0,\sqrt{\frac{2-a}{a}}\right]$ 上单调递减， 则对于任意 $x\in \left(0,\sqrt{\frac{2-a}{a}}\right]$，恒有 $f(x)<f(0)=1$。 此时函数的最小值 $f\left(\sqrt{\frac{2-a}{a}}\right)<1$，与“最小值为 1”矛盾，不合题意。 综上所述，$a$ 的取值范围是 $[2,+\infty )$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复杂多项式导数的因式分解与化简、利用函数的单调性直接界定最值边界。

2. 核心方法：第二问求导后对分子作整体展开化简（$a(1+x{)}^2-2(ax+1)=a{x}^2+a-2$）是全题能够顺利降元分类的关键。

3. 避坑指南：第三问中，很多学生习惯去正面求解复杂的极值点函数表达式 $f\left(\sqrt{\frac{2-a}{a}}\right)=1$ 的超越方程，这会陷入代数死胡同。应通过第一阶段端点值 $f(0)=1$ 和单调性的严格下降趋势直接进行逻辑排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由经典对数函数与有理分式函数组合而成的经典导数题型，改编自教材中关于“利用导数研究含参函数性质”的压轴训练。

2. 结论推广: 对于函数 $f(x)=\ln (ax+1)-\frac{2x}{x+1}+1$，其导数分子在化简后均可转化为一元二次形如 $a{x}^2+(2a-2a)x+a-2$ 的对称结构，在处理此类左端点为最值的问题时，“端点效应与排除法”拥有普适的解题效率。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-大纲卷理-22 解-导数不等式
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式