2010-上海卷文-12 填-数阵对角线求和

本题导读

考查数阵规律。对角线为 $1,3,5,7,9,2,4,6,8$，和为 $45$。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 在 $n$ 行 $n$ 列矩阵

&1&2&\cdots&n-3&n-2&n-1\end{pmatrix}$$ 中，记位于第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $a_{ij}$（$i,j=1,2,\cdots,n$）. 当 $n=9$ 时，$a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots+a_{99}=$ $\underline{\quad\quad\quad}$.

🔍【思路分析】

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1. 规律：第 $i$ 行从 $i$ 开始循环排列 $1\sim n$，即 $a_{ij}=((i+j-2)\mathrm{mod}n)+1$。
2. 对角线 $a_{ii}=((2i-2)\mathrm{mod}n)+1$。
3. $n=9$：$a_{11},\dots ,a_{99}=1,3,5,7,9,2,4,6,8$。
4. 和 $=1+3+5+7+9+2+4+6+8=45$。

✅【答案】

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$45$

✍【详细解析】

Abstract

观察矩阵：第 $i$ 行是从 $i$ 开始的循环排列，即 $a_{ij}=((i+j-2)\mathrm{mod}n)+1.$ 当 $n=9$ 时，对角线元素 $a_{ii}=((2i-2)\mathrm{mod}9)+1$： $a_{11},a_{22},\dots ,a_{99}=1,3,5,7,9,2,4,6,8,$ 故 $a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{99}=1+3+5+7+9+2+4+6+8=45.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数阵中的归纳规律

核心方法：写出前几行找循环规律，逐项计算对角线

避坑指南：对角线元素 $1,3,5,7,9,2,4,6,8$ 在 $9$ 之后”绕回” $2$，不是继续等差到 $17$；$n=9$ 时每行恰是 $1\sim 9$ 的循环移位。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数阵题是归纳推理的载体，上海卷屡有涉及。

结论推广：循环数阵中 $a_{ij}=((i+j-2)\mathrm{mod}n)+1$。

方法推广：找规律题先算前 $3\sim 5$ 项验证猜想，再求和。

🔗【关联脉络】

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