2010-上海卷理-08 填-对数

本题导读

本题考查原函数与反函数的图象对称关系及指数/对数函数恒过定点问题的求解。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 对任意不等于 1 的正数 $a$，函数 $f(x)={\log }_a(x+3)$ 的反函数的图象都经过点 $P$，则点 $P$ 的坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（求反函数）：由 $y={\log }_a(x+3)$ 解出 $x=a^y-3$，互换 $x,y$ 得反函数 $f^{-1}(x)=a^x-3$。指数函数 $y=a^x$ 恒过定点 $(0,1)$，故 $f^{-1}(x)$ 恒过点 $(0,1-3)=(0,-2)$。
2. 方法二（利用对称性）：原函数 $f(x)={\log }_a(x+3)$ 满足当 $x+3=1⟹x=-2$ 时，$y={\log }_{a}1=0$，即 $f(x)$ 恒过定点 $(-2,0)$。其反函数图象关于直线 $y=x$ 对称，故反函数恒过定点 $(0,-2)$。

✅【答案】

点击查看答案

$(0,-2)$

✍【详细解析】

Abstract

解析：利用反函数性质（对称法）

令原函数 $f(x)={\log }_a(x+3)$ 的真数为 $1$： $x+3=1⟹x=-2$

此时： $f(-2)={\log }_{a}1=0$

即原函数 $y=f(x)$ 的图象对任意 $a>0$ 且 $a\ne 1$ 恒过定点 $(-2,0)$。

因为互为反函数的两个函数图象关于直线 $y=x$ 对称， 将点 $(-2,0)$ 关于 $y=x$ 对称交换横纵坐标，得到点 $(0,-2)$。

所以反函数 $f^{-1}(x)$ 的图象恒过定点 $P(0,-2)$。

故答案为：$(0,-2)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数/指数函数恒过定点与反函数对称性。
2. 核心方法：原函数过 $(x_0,y_0)⟺$ 反函数过 $(y_0,x_0)$。
3. 避坑指南：求点 $P$ 坐标需以有序数对 $(x,y)$ 形式书写。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：对数与指数反函数基础考查。
2. 结论推广：若 $f(x)={\log }_a(x+k)$，其反函数图象恒过点 $(0,1-k)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性
• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-上海卷理-20 解-指数函数