2010-上海卷理-15 单-函数

本题导读

本题考查三角方程的解集与充分必要条件的关系判定，通过对比两命题对应的角集合大小求解。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） $“x=2k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in \mathbb{Z})”$ 是 $“\tan x=1”$ 成立的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记命题 $p:x=2k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in \mathbb{Z})$，其解集为 $A=\{x\mid x=2k\pi +\frac{\pi }{4},k\in \mathbb{Z}\}$。
2. 记命题 $q:\tan x=1$，正切函数周期为 $\pi$，解集为 $B=\{x\mid x=k\pi +\frac{\pi }{4},k\in \mathbb{Z}\}$。
3. 比较集合 $A$ 与 $B$ 的包含关系：$AB$，根据集合包含关系判定充要性。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 充分性验证： 若 $x=2k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in \mathbb{Z})$，则： $\tan x=\tan \left(2k\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\tan \frac{\pi }{4}=1$ 充分性成立（由 $p⟹q$）。

• 必要性验证： 若 $\tan x=1$，则： $x=k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in \mathbb{Z})$ 例如取 $k=1$，$x=\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$。 代入 $p$ 式得 $2k^{\prime }\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}⟹2k^{\prime }\pi =\pi ⟹k^{\prime }=\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$，无法表示为 $2k\pi +\frac{\pi }{4}$。 必要性不成立（由 $q\nRightarrow p$）。

综上所述，$“x=2k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in \mathbb{Z})”$ 是 $“\tan x=1”$ 的充分不必要条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分必要条件的逻辑判定与三角方程的通解。
2. 核心方法：集合真包含关系法：$AB⟹p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。
3. 避坑指南：正切函数周期为 $\pi$，解集为 $k\pi +\frac{\pi }{4}$；正弦/余弦方程（如 $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$）通解周期则为 $2\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础逻辑用语与三角函数结合考查题。
2. 结论推广：若 $p:x\in A,q:x\in B$，则 $AB⟺p$ 为 $q$ 的充分不必要条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性