2010-上海卷理-21 解-立体几何

本题导读

本题结合圆柱形灯笼实际制作背景，考查几何体的表面积计算、二次函数最值求解，以及利用空间直角坐标系求解异面直线所成角。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 $4$ 个全等的矩形骨架，总计耗用 $9.6$ 米铁丝. 骨架将圆柱底面 $8$ 等分，再用 $S$ 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.

(1) 当圆柱底面半径 $r$ 取何值时，$S$ 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 $0.01$ 平方米）；

(2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯. 当灯笼底面半径为 $0.3$ 米时，求图中两根直线型霓虹灯 $A_1{B}_3$、$A_3{B}_5$ 所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：$4$ 个全等的矩形骨架经过轴线，每个矩形的长为圆柱高 $h$，宽为圆柱底面直径 $2r$。由铁丝总长列出 $r$ 与 $h$ 的关系，将侧面积与下底面积之和 $S=2\pi rh+\pi r^2$ 表示为关于 $r$ 的二次函数，利用二次函数最值公式求解。
2. 第 (2) 问：当 $r=0.3$ 米时求出高 $h=0.6$ 米。底面 $8$ 等分，故 $\angle A_{1}O{A}_3=90^{\circ },\angle A_{3}O{A}_5=90^{\circ }$。建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标与向量 $\overrightarrow{A_1{B}_3},\overrightarrow{A_3{B}_5}$，利用向量夹角余弦公式求解异面直线所成角。

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $S$ 的最大值及对应的半径 $r$

由题意，$4$ 个全等的矩形骨架均过圆柱轴线，每个矩形的宽为直径 $2r$，高为 $h$。 总铁丝长为 $9.6$ 米： $4\times (2\times 2r+2h)=9.6⟹16r+8h=9.6⟹2r+h=1.2$ 解得： $h=1.2-2r(0<r<0.6)$

侧面和下底面的面积之和 $S$ 为： $S=2\pi rh+\pi r^2=2\pi r(1.2-2r)+\pi r^2=2.4\pi r-3\pi r^2=-3\pi (r-0.4{)}^2+0.48\pi$

因为 $0<0.4<0.6$，所以当 $r=0.4$ 米时，$S$ 取得最大值： $S_{\max }=0.48\pi \approx 0.48\times 3.14159\approx 1.51\text{（平方米）}$

---

(2) 求异面直线 $A_1{B}_3$ 与 $A_3{B}_5$ 所成角的大小

当 $r=0.3$ 米时，高 $h=1.2-2(0.3)=0.6$ 米。

以下底面圆心 $O$ 为原点，射线 $O{A}_3$ 为 $x$ 轴正半轴，过 $O$ 垂直于 $O{A}_3$ 的下底面射线 $O{A}_5$ 为 $y$ 轴正半轴，轴线 $O{O}^{\prime }$ 向上为 $z$ 轴正半轴，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。

由底面 $8$ 等分可知 $\angle A_{1}O{A}_3=90^{\circ },\angle A_{3}O{A}_5=90^{\circ }$，各点坐标为：

• $A_1(0,-0.3,0)$
• $A_3(0.3,0,0)$
• $B_3(0.3,0,0.6)$
• $B_5(0,0.3,0.6)$

求出方向向量： $\overrightarrow{A_1{B}_3}=(0.3,0.3,0.6)$ $\overrightarrow{A_3{B}_5}=(-0.3,0.3,0.6)$

计算向量点积与模长： $\overrightarrow{A_1{B}_3}\cdot \overrightarrow{A_3{B}_5}=(0.3)(-0.3)+(0.3)(0.3)+(0.6)(0.6)=0.36$ $|\overrightarrow{A_1{B}_3}|=\sqrt{0.3^2+0.3^2+0.6^2}=\sqrt{0.54}$ $|\overrightarrow{A_3{B}_5}|=\sqrt{(-0.3{)}^2+0.3^2+0.6^2}=\sqrt{0.54}$

设异面直线 $A_1{B}_3$ 与 $A_3{B}_5$ 所成的角为 $\theta$： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A_1{B}_3}\cdot \overrightarrow{A_3{B}_5}|}{|\overrightarrow{A_1{B}_3}|\cdot |\overrightarrow{A_3{B}_5}|}=\frac{0.36}{0.54}=\frac{2}{3}$

所以，异面直线所成角的大小为 $\arccos \frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何表面积建模与二次函数求最值；建系用向量夹角求异面直线所成角。
2. 核心方法：

• 侧面积加下底面积公式 $S=2\pi rh+\pi r^2$；
• 配方法求二次函数最值；
• 异面直线所成角公式 $\cos \theta =\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$。

3. 避坑指南：第 (1) 问注意塑料片不包含上底面，定义域 $0<r<0.6$ 需标明；第 (2) 问向量点积取绝对值确保余弦值为非负数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷应用建模与立体几何综合压轴题。
2. 结论推广：对圆柱内过 $90^{\circ }$ 圆心角对应顶点的对角线异面直线，其夹角余弦值满足 $\cos \theta =\frac{h^2}{2r^2+h^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性