2010-上海卷理-22 解-绝对值不等式

本题导读

本题为上海高考压轴题，引入“远离 $m$”的新定义，考查绝对值不等式化简、代数证明，以及基于新定义的三角分段函数解析式与其基本性质的分析。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 22. 若实数 $x,y,m$ 满足 $|x-m|>|y-m|$，则称 $x$ 比 $y$ 远离 $m$.

(1) 若 $x^2-1$ 比 $1$ 远离 $0$，求 $x$ 的取值范围；

(2) 对任意两个不相等的正数 $a,b$，证明：$a^3+b^3$ 比 $a^{2}b+a{b}^2$ 远离 $2ab\sqrt{ab}$；

(3) 已知函数 $f(x)$ 的定义域 $D=\left\{x\mid x\ne \frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{4},k\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{R}\right\}$. 任取 $x\in D$，$f(x)$ 等于 $\sin x$ 和 $\cos x$ 中远离 $0$ 的那个值. 写出函数 $f(x)$ 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：将“$x^2-1$ 比 $1$ 远离 $0$”翻译为绝对值不等式 $|(x^2-1)-0|>|1-0|⟹|x^2-1|>1$，解不等式即可。
2. 第 (2) 问：欲证 $a^3+b^3$ 比 $a^{2}b+a{b}^2$ 远离 $2ab\sqrt{ab}$，即证： $|(a^3+b^3)-2ab\sqrt{ab}|>|(a^{2}b+a{b}^2)-2ab\sqrt{ab}|$ 因 $a,b>0$ 且 $a\ne b$，将两边写为 $({\sqrt{a}}^3-{\sqrt{b}}^3{)}^2$ 与 $ab(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2$ 的形式因式分解比较。
3. 第 (3) 问：“远离 $0$”即绝对值最大者（即比较 $|\sin x|$ 与 $|\cos x|$ 的大小）。根据 $|\sin x|$ 与 $|\cos x|$ 在定义域 $D$ 上的大小关系写出分段函数，再归纳其奇偶性、周期性、单调性与值域。

✅【答案】

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所以−1 ⩽𝑓(𝑥) ⩽1

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $x$ 的取值范围

根据“远离 $m$”的定义，“$x^2-1$ 比 $1$ 远离 $0$”即： $|(x^2-1)-0|>|1-0|⟹|x^2-1|>1$

解此绝对值不等式： $x^2-1>1\text{或}{x}^2-1<-1$ $x^2>2\text{或}{x}^2<0\text{（无解）}$

解得： $x>\sqrt{2}\text{或}x<-\sqrt{2}$

故 $x$ 的取值范围为 $(-\infty ,-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},+\infty )$.

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(2) 证明不等式

根据新定义，要证明 $a^3+b^3$ 比 $a^{2}b+a{b}^2$ 远离 $2ab\sqrt{ab}$，即需证： $|(a^3+b^3)-2ab\sqrt{ab}|>|(a^{2}b+a{b}^2)-2ab\sqrt{ab}|$

因为 $a>0,b>0$，令 $u=\sqrt{a},v=\sqrt{b}$，且 $u\ne v,u>0,v>0$. 原式中的代数式可表示为：

• $a^3+b^3=u^6+v^6$
• $a^{2}b+a{b}^2=u^4{v}^2+u^2{v}^4=u^2{v}^2(u^2+v^2)$
• $2ab\sqrt{ab}=2u^3{v}^3$

因式分解两边绝对值内的代数式：

1. 左边： $(a^3+b^3)-2ab\sqrt{ab}=u^6-2u^3{v}^3+v^6=(u^3-v^3{)}^2$ 因为 $(u^3-v^3{)}^2>0$，所以： $|(a^3+b^3)-2ab\sqrt{ab}|=(u^3-v^3{)}^2=(u-v{)}^2(u^2+uv+v^2{)}^2$

2. 右边： $(a^{2}b+a{b}^2)-2ab\sqrt{ab}=u^2{v}^2(u^2+v^2)-2u^3{v}^3=u^2{v}^2(u-v{)}^2$ 因为 $u^2{v}^2(u-v{)}^2>0$，所以： $|(a^{2}b+a{b}^2)-2ab\sqrt{ab}|=u^2{v}^2(u-v{)}^2$

两式作差（由于 $(u-v{)}^2>0$，可同除以 $(u-v{)}^2$）： $(u^2+uv+v^2{)}^2-u^2{v}^2=(u^2+uv+v^2-uv)(u^2+uv+v^2+uv)=(u^2+v^2)(u^2+2uv+v^2)$ $=(u^2+v^2)(u+v{)}^2>0$

因此 $(u^3-v^3{)}^2>u^2{v}^2(u-v{)}^2$，即： $|(a^3+b^3)-2ab\sqrt{ab}|>|(a^{2}b+a{b}^2)-2ab\sqrt{ab}|$

故命题得证：对任意两个不相等的正数 $a,b$，$a^3+b^3$ 比 $a^{2}b+a{b}^2$ 远离 $2ab\sqrt{ab}$.

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(3) 写出 $f(x)$ 的解析式及其基本性质

解析式： 根据定义，$f(x)$ 在 $\sin x$ 与 $\cos x$ 中取远离 $0$（即绝对值更大）的值： $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x,& |\sin x|>|\cos x|\\ \cos x,& |\cos x|>|\sin x|\end{array}$

结合单位圆及三角函数性质：

• 当 $x\in \left(2k\pi -\frac{3\pi }{4},2k\pi -\frac{\pi }{4}\right)\cup \left(2k\pi +\frac{\pi }{4},2k\pi +\frac{3\pi }{4}\right)$（$k\in \mathbb{Z}$）时，$|\sin x|>|\cos x|$，则 $f(x)=\sin x$；
• 当 $x\in \left(2k\pi -\frac{\pi }{4},2k\pi +\frac{\pi }{4}\right)\cup \left(2k\pi +\frac{3\pi }{4},2k\pi +\frac{5\pi }{4}\right)$（$k\in \mathbb{Z}$）时，$|\cos x|>|\sin x|$，则 $f(x)=\cos x$.

也可化简统一写为分段形式（一个周期 $\pi$ 内）： $f(x)=\{\begin{array}{ll}\cos x,& x\in \left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)\cup \left(\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)\\ \sin x,& x\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right)\cup \left(\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\right)\end{array}(\text{周期延展 }k\pi )$

基本性质：

1. 奇偶性：偶函数，图象关于 $y$ 轴对称（即对任意 $x\in D$，$f(-x)=f(x)$）；
2. 周期性：周期函数，最小正周期为 $\pi$；
3. 值域：$\left(-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$；
4. 单调性：

• 在区间 $\left(k\pi -\frac{\pi }{4},k\pi \right)$（$k\in \mathbb{Z}$）上单调递增；
• 在区间 $\left(k\pi ,k\pi +\frac{\pi }{4}\right)$（$k\in \mathbb{Z}$）上单调递减.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义转化、代数不等式因式分解证明、分段三角函数的性质归纳。
2. 核心方法：

• 翻译新定义：将“远离 $m$”转化为绝对值大小判定；
• 换元法：第 (2) 问设 $u=\sqrt{a},v=\sqrt{b}$ 将半次幂齐次化。

3. 避坑指南：第 (3) 问定义域删除了 $x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{4}$ 点，故值域端点 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 为开区间，不能写成闭区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷创新定义压轴题，结合了绝对值距离概念与三角函数图象交叠。
2. 结论推广：平面上动点到定点距离定义可拓广为闵可夫斯基距离与极限函数 $\max \{|f(x)|,|g(x)|\}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数