2010-北京卷文-18 解-三次函数无极值点

本题导读

考查导数综合。（1）$f(x)=x^3-3x^2+12x$；（2）$(9-5a{)}^2⩽16a^2$ 得 $a\in [1,9]$。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 设函数 $f(x)=\frac{a}{3}{x}^3+b{x}^2+cx+d$（$a>0$），且方程 $f^{\prime }(x)-9x=0$ 的两个根分别为 $1$，$4$.

(1)当 $a=3$ 且曲线 $y=f(x)$ 过原点时，求 $f(x)$ 的解析式；

(2)若 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内无极值点，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)-9x=a{x}^2+(2b-9)x+c$，韦达：$5=\frac{9-2b}{a}$，$4=\frac{c}{a}$。
2. $a=3$：$b=-3$，$c=12$，$d=0$。
3. 无极值点 $⟺\Delta =4b^2-4ac⩽0$。
4. 代入 $2b=9-5a$，$c=4a$：$(9-5a{)}^2⩽16a^2$。
5. $|9-5a|⩽4a\Rightarrow 1⩽a⩽9$。

✅【答案】

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(1) $f(x)=x^3-3x^2+12x$

(2) $a$ 的取值范围为 $[1,9]$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=a{x}^2+2bx+c$，故 $f^{\prime }(x)-9x=a{x}^2+(2b-9)x+c.$ 由方程两根为 $1,4$，依韦达定理： $1+4=\frac{9-2b}{a},1\times 4=\frac{c}{a},$ 即 $2b=9-5a$，$c=4a$。 （1）当 $a=3$ 时，$b=\frac{9-15}{2}=-3$，$c=12$； 曲线过原点，$d=f(0)=0$。 故 $f(x)=x^3-3x^2+12x$。 （2）因为 $a>0$，$f^{\prime }(x)=a{x}^2+2bx+c$ 是开口向上的抛物线。 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 内无极值点，当且仅当 $f^{\prime }(x)$ 不变号，即 $f^{\prime }(x)⩾0$ 恒成立， 亦即判别式 $\Delta =(2b{)}^2-4ac⩽0⟺b^2⩽ac.$ 代入 $2b=9-5a$，$c=4a$： $(9-5a{)}^2⩽16a^2⟺|9-5a|⩽4a,$ 即 $-4a⩽9-5a⩽4a$，解得 $1⩽a⩽9$。 （端点处 $\Delta =0$，$f^{\prime }$ 只有一个不变号零点，$f$ 仍无极值点，可取。） 故 $a$ 的取值范围为 $[1,9]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与无极值点的条件

核心方法：无极值点 $⟺f^{\prime }$ 不变号 $⟺$ 判别式不大于零

避坑指南：“无极值点”不是”$f^{\prime }(x)>0$ 恒成立”：$\Delta =0$ 时 $f^{\prime }⩾0$ 且零点不变号，$f$ 仍单调，端点 $a=1,9$ 要取到；漏等号是常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数无极值点 $⟺$ 导函数（二次）判别式 $\Delta ⩽0$（首项系数为正时）。

结论推广：韦达定理把两个根的条件翻译成系数关系：$2b=9-5a$，$c=4a$。

方法推广：不等式 $(9-5a{)}^2⩽16a^2$ 两边开方取绝对值最简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2011-大纲卷文-21 解-三次函数极值点分布
• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立