2010-北京卷文-19 解-椭圆与圆相切

本题导读

考查椭圆与圆综合。（1）$\frac{x^2}{3}+y^2=1$；（2）$P\left(0,\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$；（3）$y⩽t+\sqrt{3(1-t^2)}⩽2$。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 已知椭圆 $C$ 的左、右焦点坐标分别是 $(-\sqrt{2},0)$，$(\sqrt{2},0)$，离心率是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$.直线 $y=t$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$，$N$，以线段 $MN$ 为直径作圆 $P$，圆心为 $P$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)若圆 $P$ 与 $x$ 轴相切，求圆心 $P$ 的坐标；

(3)设 $Q(x,y)$ 是圆 $P$ 上的动点，当 $t$ 变化时，求 $y$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $c=\sqrt{2}$，$a=\frac{c}{e}=\sqrt{3}$，$b^2=1$。
2. $M,N$ 关于 $y$ 轴对称，$P(0,t)$，$r=\sqrt{3(1-t^2)}$。
3. 相切：$|t|=r\Rightarrow t^2=\frac{3}{4}$。
4. $Q$ 的纵坐标 $y⩽t+r$；柯西：$t+\sqrt{3}\cdot \sqrt{1-t^2}⩽\sqrt{1+3}=2$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{3}+y^2=1$

(2) $P\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 或 $P\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

(3) $y$ 的最大值为 $2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由题意 $c=\sqrt{2}$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$， 故 $a=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}/3}=\sqrt{3}$，$a^2=3$，$b^2=a^2-c^2=1$。 椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{3}+y^2=1.$ （2）把 $y=t$ 代入椭圆方程：$x^2=3(1-t^2)$（$|t|<1$）， 故 $M\left(-\sqrt{3(1-t^2)},t\right)$，$N\left(\sqrt{3(1-t^2)},t\right)$。 圆心 $P$ 为 $MN$ 中点，即 $P(0,t)$，半径 $r=\sqrt{3(1-t^2)}$。 圆 $P$ 与 $x$ 轴相切 $⟺|t|=r$，即 $t^2=3(1-t^2)⟺t^2=\frac{3}{4}⟺t=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}.$ 所以圆心 $P$ 的坐标为 $\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 或 $\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 （3）点 $Q(x,y)$ 在圆 $P$ 上，故 $y⩽t+r=t+\sqrt{3(1-t^2)}.$ 由柯西不等式， $t+\sqrt{3}\cdot \sqrt{1-t^2}⩽\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}\cdot \sqrt{t^2+(1-t^2)}=2,$ 当 $\frac{t}{1}=\frac{\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{3}}$，即 $t=\frac{1}{2}$ 时等号成立。 故 $y$ 的最大值为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与圆的综合

核心方法：水平弦的中点即圆心，弦长的一半即半径

避坑指南：（2）相切条件是 $|t|=r$ 而不是 $t=r$（$t$ 可负），两解都合法；（3）$y$ 的最大值是”圆上点纵坐标”的最大，先 $y⩽t+r$ 再对 $t$ 放缩，两步缺一不可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$y=t$ 截椭圆得对称弦，圆心必在 $y$ 轴上。

结论推广：柯西不等式 $a_1{b}_1+a_2{b}_2⩽\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}$ 是这类放缩的利器，也可用三角换元 $t=\sin \theta$。

方法推广：等号成立条件 $t=\frac{1}{2}$ 必须验证在定义域 $(-1,1)$ 内。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-19 解-椭圆与包围圆
• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
• 2009-天津卷文-22 解-椭圆平行比例与外接圆
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