2012-大纲卷文-22 解-抛物线与圆公切线

本题导读

本题考查抛物线的切线。核心在于向量法、判别式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 已知抛物线 $C:y=(x+1{)}^2$ 与圆 $M:(x-1{)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=r^2$（$r>0$）有一个公共点 $A$，且在 $A$ 处两曲线的切线为同一直线 $l$.

(1)求 $r$；

(2)设 $m$、$n$ 是异于 $l$ 且与 $C$ 及 $M$ 都相切的两条直线，$m$、$n$ 的交点为 $D$，求 $D$ 到 $l$ 的距离.（本小题满分 $12$ 分）

🔍【思路分析】

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切点 $A=(0,1)$，$r=\frac{\sqrt{5}}{2}$；另两条公切线斜率 $k=6\pm 2\sqrt{10}$，交点 $D(2,-1)$，到 $l$ 的距离 $\frac{6\sqrt{5}}{5}$。

✅【答案】

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(1)$r=\frac{\sqrt{5}}{2}$

(2)$\frac{6\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $A(a,(a+1{)}^2)$。$y^{\prime }=2(x+1)$，故 $C$ 在 $A$ 处的切线为 $2(a+1)x-y+(a+1)(1-a)=0$。

该直线也是圆 $M$ 在 $A$ 处的切线，故半径 $MA\perp l$，即 $\overrightarrow{MA}=\left(a-1,(a+1{)}^2-\frac{1}{2}\right)$ 与 $l$ 的法向量 $(2(a+1),-1)$ 平行：

$-(a-1)=2(a+1)\left[(a+1{)}^2-\frac{1}{2}\right]$，整理得 $2=2(a+1{)}^3$，$a=0$。

故 $A=(0,1)$，$r^2=(0-1{)}^2+{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}$，$r=\frac{\sqrt{5}}{2}$（此时 $l:y=2x+1$）。

（2）设直线 $y=kx+b$ 与 $C$ 相切：$x^2+2x+1=kx+b$ 有重根，判别式为 $0$，$(2-k{)}^2=4(1-b)$，得 $b=k-\frac{k^2}{4}$。

与圆 $M$ 相切：圆心 $\left(1,\frac{1}{2}\right)$ 到直线 $kx-y+b=0$ 的距离等于 $r$：

${\left(-\frac{k^2}{4}+2k-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}(k^2+1)$，整理得 $k^4-16k^3+48k^2-32k-16=0$，即 $(k-2{)}^2(k^2-12k-4)=0$。

$k=2$（二重根，即 $l$）舍去，故两条公切线斜率 $k_1=6+2\sqrt{10}$，$k_2=6-2\sqrt{10}$。

截距 $b_i=k_i-\frac{k_i^2}{4}$，$b_1-b_2=(k_1-k_2)\left(1-\frac{k_1+k_2}{4}\right)=4\sqrt{10}\times (1-3)=-8\sqrt{10}$。

联立 $k_{1}x+b_1=k_{2}x+b_2$：$x=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}=\frac{8\sqrt{10}}{4\sqrt{10}}=2$，$y=2k_1+b_1=2k_1+k_1-\frac{k_1^2}{4}=-1$，故 $D(2,-1)$。

$D$ 到 $l:2x-y+1=0$ 的距离为 $\frac{|2\times 2-(-1)+1|}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与圆的切线；公切线交点；点到直线的距离

核心方法：切点处法向量平行定 $A$ → 双相切条件联立成 $k$ 的一元方程 → 根的对称性求交点

避坑指南：与两曲线都相切的直线要同时满足”抛物线判别式为 $0$“与”圆心距等于 $r$“两个条件，缺一不可；因式分解中 $k=2$ 是二重根（即 $l$ 本身），必须排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线与圆的公切线综合题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 20 题、2013 年福建卷文第 20 题（抛物线与圆）同族。

结论推广：一般地，二次曲线 $y=a{x}^2+bx+c$ 的切线 $y=kx+m$ 相切条件为 $(b-k{)}^2=4a(c-m)$；与圆相切条件为圆心到直线的距离等于半径。

方法推广：公切线问题设斜率 $k$，把两个相切条件都化成 $k$ 的方程，利用根与系数的对称性求交点，避免逐条求切线方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-20 解-抛物线与圆的综合
• 2013-福建卷文-20 解-抛物线与圆