2010-北京卷理-15 解-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的代数化简、求值及最值问题。解题核心在于熟练运用二倍角公式或降幂公式，将异名、异角的三角函数式统一为同名、同角的三角函数式，进而利用三角函数的有界性求解最值。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)=2\cos 2x+{\sin }^{2}x$．

(1)求 $f\left(\frac{\pi }{3}\right)$ 的值；

(2)求 $f(x)$ 的最大值和最小值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问代入特殊角求值：直接将 $x=\frac{\pi }{3}$ 代入函数解析式，转化为特殊角的三角函数值进行代数计算。

2. 第二问名角系统统一：利用二倍角公式或降幂公式（如 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$），将原解析式化为关于 $\cos 2x$ 的一次函数或关于 $\sin x$ 的二次函数形式，利用整体代换与正余弦函数的有界性求出最值。

✅【答案】

点击查看答案

$（1）f(\pi 3)=2cos2\pi 3+sin$

✍【详细解析】

Abstract

（1）将 $x=\frac{\pi }{3}$ 代入函数解析式得： $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\cos \left(2\cdot \frac{\pi }{3}\right)+{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\cos \frac{2\pi }{3}+{\left(\sin \frac{\pi }{3}\right)}^2$ 因为 $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$，$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$， 所以： $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=-1+\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$

（2）方法一：统一为二倍角余弦形式 利用降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，将原解析式变形为： $f(x)=2\cos 2x+\frac{1-\cos 2x}{2}=2\cos 2x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x=\frac{3}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}$ 因为 $x\in \mathbf{R}$，所以 $\cos 2x\in [-1,1]$．

• 当 $\cos 2x=1$ 时，$f(x)$ 取得最大值，$f_{\max }=\frac{3}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}=2$；
• 当 $\cos 2x=-1$ 时，$f(x)$ 取得最小值，$f_{\min }=\frac{3}{2}\cdot (-1)+\frac{1}{2}=-1$．

方法二：统一为正弦二次多项式形式 利用二倍角公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$，将原解析式变形为： $f(x)=2(1-2{\sin }^{2}x)+{\sin }^{2}x=2-4{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x=2-3{\sin }^{2}x$ 因为 $x\in \mathbf{R}$，所以 ${\sin }^{2}x\in [0,1]$．

• 当 ${\sin }^{2}x=0$ 时，$f(x)$ 取得最大值，$f_{\max }=2-3\cdot 0=2$；

• 当 ${\sin }^{2}x=1$ 时，$f(x)$ 取得最小值，$f_{\min }=2-3\cdot 1=-1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的恒等变换、正弦与余弦函数的图象与性质（有界性）。
2. 核心方法：

• “切弦化统一”及“名角统一”的转化思维。
• 换元思想（整体法）：将 $\cos 2x$ 或 ${\sin }^{2}x$ 视为整体。

3. 避坑指南：

• 特殊角三角函数值记错：第一问中易将 $\cos \frac{2\pi }{3}$ 错记为 $\frac{1}{2}$ 或 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$导致失分。

• 忽视定义域及有界性限制：在使用换元法（如令 $t=\sin x$）处理更复杂的二次多项式时，务必注意新变量 $t\in [-1,1]$ 的区间限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是标准的经典三角一轮复习基本功题，直接考查人教A版必修4《三角恒等变换》中倍角公式与最值性质的联合应用。

2. 结论推广: 对于函数 $f(x)=A\cos 2x+B{\sin }^{2}x+C$，其可统一转化为关于 $\cos 2x$ 的一次函数 $f(x)=\left(A-\frac{B}{2}\right)\cos 2x+\left(C+\frac{B}{2}\right)$。当 $A-\frac{B}{2}\ne 0$ 时，其最值必在 $\cos 2x=\pm 1$ 处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数